渐近产生非正交列空间

Question

当计算含有无理数的矩阵的列空间(例如sqrt(3))时，sympy.columnspace()产生两个不正交的向量(例如，V_1^TV_2 != 0)。

鉴于矩阵A：

A = Matrix([[1.25000000000000, 0.25*sqrt(3), 0.500000000000000, 0, 1.25000000000000,  -0.25*sqrt(3)], [0.25*sqrt(3), 0.750000000000000, -0.5*sqrt(3), 0, 0.25*sqrt(3), -0.750000000000000], [0.500000000000000, -0.5*sqrt(3), 2, 0, 0.500000000000000, 0.5*sqrt(3)], [0, 0, 0, 0, 0, 0], [1.25000000000000, 0.25*sqrt(3), 0.500000000000000, 0, 1.25000000000000, -0.25*sqrt(3)], [-0.25*sqrt(3), -0.750000000000000, 0.5*sqrt(3), 0, -0.25*sqrt(3), 0.750000000000000]])

Sympy计算列空间为：

V = A.columnspace()

V = [Matrix([
[         1.25],
[ 0.25*sqrt(3)],
[          0.5],
[            0],
[         1.25],
[-0.25*sqrt(3)]]), Matrix([
[0.25*sqrt(3)],
[        0.75],
[-0.5*sqrt(3)],
[           0],
[0.25*sqrt(3)],
[       -0.75]])]

但是，构成列空间的两个向量的点积是非零的：

B = V[0].dot(V[1])

B = 0.75*sqrt(3)

为什么结果的列空间是非正交的？我试图简化上面的表达式以删除小数(和潜在的舍入错误)，但没有效果。

Answer 1

构成列空间的向量不一定是正交的。在上面的例子中，列空间只是矩阵的前两列。

若要正交化，请使用Gram-Schmidt过程：

V = GramSchmidt(A.columnspace(),True)

其中，可选参数True对应于标准化结果向量。