基于奇异值分解的低阶逼近

Question

我在研究纸。这份文件提到：

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但是，在搜索和引用其他来源后，我发现使用SVD的矩阵的低秩近似如下：

​

请解释研究论文中提到的方法。

Answer 1

它们只需要将SVD分解分解到使用的组件和未使用的组件中，就会稍微复杂一些。

注意A = sum(U[:, i:i+1] * s[i] * V[i:i+1,:] for i in range(len(s))，

import numpy as np
A = np.random.rand(10, 15)
U, s, V = np.linalg.svd(A)
assert np.allclose(A, U @ np.diag(s) @ V.T)
assert np.allclose(A, sum(s[i] * U[:, i:i+1] * V[i:i+1,:] 
                            for i in range(len(s))))

注意，U[:, :M].T的左乘法将把矩阵投影到M第一个左奇异向量的子空间。然后将投影值与U[:,:M]相乘，将投影值转化为原始基。

M=6
assert np.allclose(U[:, :M] @ U[:, :M].T @ A, 
     sum(s[i] * U[:, i:i+1] * V[i:i+1,:] for i in range(M)))