朱莉娅中牛顿方法函数的误差(不匹配^(：：向量{Float64}，：：in 64)

Question

我试图用Julia写一个函数，用牛顿迭代法求解非线性方程f(x)=0。我是朱莉娅的初学者，所以请容忍我。在作业中，我的导师提供了第一行代码：

newton(f, x_0; maxiterations=10, tolerance=1e-14, epsilon=1e-7)

他还提供了这样的说法：“可选的epsilon参数提供了在有限差分近似f‘(X)≈(f(x +ε)−f(x)) /ε中使用的值。”在过去，我在MATLAB中为牛顿方法创建了一个函数，但我假设f(x)的一阶导数必须是函数的输入之一。在这个作业中，他似乎想让我使用这个近似公式。不管怎样，到目前为止，这是我的代码。

function newton(f,x_0; maxiterations=10, tolerance=1e-14, epsilon=1e-7)
    
    x = [x_0] # assign x_0 to x and make x a vector 
    fd = (f(x.+epsilon) - f(x))./epsilon # fd is the first derivative of f(x), calculated from
                                       # the finite-difference approximation
    # create for loop to begin iteration
    for n = 0:maxiterations
        if abs(x[n+1]-x[n]) < tolerance # if the absolute value of the difference of x[n+1] and x[n] 
                                        # is less than the tolerance, then the value of x is returned
            return x                   
        end
        
        if abs(f(x[n])) < tolerance # if the absolute value of f(x[n]) is less than the tolerance,
                                    # then the value of x is returned
            return x
        end
        
        push!(x, x[n] - (f(x[n]))/fd) # push each calculated value to the end of vector x, 
                                      # and continue iterating
    end
    return x # after iteration is complete, return the vector x
end

在执行这个函数之后，我定义了用于确定sqrt(13)的方程，并用x_0=3的初始猜测调用了牛顿函数。

f(x) = x^2 - 13
newton(f,3)

下面是在调用newton函数之后遇到的错误消息：

MethodError: no method matching ^(::Vector{Float64}, ::Int64)
Closest candidates are:
  ^(::Union{AbstractChar, AbstractString}, ::Integer) at strings/basic.jl:730
  ^(::LinearAlgebra.Hermitian, ::Integer) at /Applications/Julia-1.8.app/Contents/Resources/julia/share/julia/stdlib/v1.8/LinearAlgebra/src/symmetric.jl:696
  ^(::LinearAlgebra.Hermitian{T, S} where S<:(AbstractMatrix{<:T}), ::Real) where T at /Applications/Julia-1.8.app/Contents/Resources/julia/share/julia/stdlib/v1.8/LinearAlgebra/src/symmetric.jl:707
  ...

Stacktrace:
 [1] literal_pow
   @ ./intfuncs.jl:340 [inlined]
 [2] f(x::Vector{Float64})
   @ Main ./In[35]:3
 [3] newton(f::typeof(f), x_0::Int64; maxiterations::Int64, tolerance::Float64, epsilon::Float64)
   @ Main ./In[34]:5
 [4] newton(f::Function, x_0::Int64)
   @ Main ./In[34]:2
 [5] top-level scope
   @ In[35]:4
 [6] eval
   @ ./boot.jl:368 [inlined]
 [7] include_string(mapexpr::typeof(REPL.softscope), mod::Module, code::String, filename::String)
   @ Base ./loading.jl:1428

在这个问题中，我应该让我的函数返回一个连续逼近的向量，并绘制一个对数误差图，其中包括牛顿迭代的理论误差估计曲线。我希望在纠正代码中的问题方面提供任何指导，这样我就可以继续创建错误图了。

谢谢。

Answer 1

您可以使用

newton(x->x.^2 .- 13, 3.)

用矢量代替标量来操作矢量。但你的牛顿密码还被窃听了！

从零索引开始(不好)，在分配之前使用xn+1，它缺少一些数学步骤。我可以向你求婚

function newton(f,x_0; maxiterations=10, tolerance=1e-14, epsilon=1e-7)
  x = x_0 
  iterates = [x]; # iterates will store the iterates' sequence
  # create for loop to begin iteration
  for n =1:maxiterations
    fd = (f(x.+epsilon) - f(x))./epsilon 
    tmp=x - f(x) / fd
    if (abs(tmp-x) < tolerance || abs(f(x)) < tolerance )
      break
    end
    x = tmp 
    push!(iterates,x)
  end
  return iterates
end

现在看来效果很好

julia> newton(x->x.^2 .- 13, 3.)
   5-element Vector{Float64}:
    3.0
    3.6666666569022053
    3.6060606066709835
    3.605551311439882
    3.60555127546399