Haskell，实现Monoids。什么是半群，为什么它表现得如此怪异？

Question

我想实现一个名为ComplexNumber的自定义数据类型，如下所示：data ComplexNumber a = C (a,a)

现在，我想实现Monoid变量，并定义二进制mappend元素和mappend，如下所示：

instance Num a => Monoid (ComplexNumber a) where
    mempty = C (0,0)
    mappend = (C (a1, b1)) (C (a2, b2)) = C (a1 + a2, b1 + b2)

但这并没有奏效，所以试着找出原因，并遇到了闪族(我仍然不太明白)，于是找到了一种解决方案，它至少可以编译，并且似乎与此相配合：

instance Num a => Semigroup (ComplexNumber a) where
    (C (a1, b1)) <> (C (a2,b2)) = C (a1 + a2, b1 + b2)

instance Num a => Monoid (ComplexNumber a) where
    mempty = C (0,0)

有趣的是，当我删除半群的实现时，程序不再编译，并给出以下错误：

    * Could not deduce (Semigroup (ComplexNumber a))
        arising from the superclasses of an instance declaration
      from the context: Num a
        bound by the instance declaration at Aufgabe_10.hs:9:10-42
    * In the instance declaration for `Monoid (ComplexNumber a)'
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9 | instance Num a => Monoid (ComplexNumber a) where
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为什么我可以将这两个部分编译在一起，但是当我移除半群时会发生错误？特别是这个半群的东西

Answer 1

Semigroup只是具有<>操作实现的所有类型的类，在某种程度上它是关联的(也就是说，如果我们忽略了小的浮点偏差，那么a<>(b<>c) ≡ (a<>b)<>c对你的复数来说是正确的)。

Monoid是半群的一类，它另外有一个中性元素mempty，即总是满足mempty <> a ≡ a <> mempty ≡ a的元素(对于带有加法和零的复数也是如此)。

对于一个甚至没有<>操作的类型来说，这是一个荒谬的要求，也就是说，它没有一个Semigroup实例。这是由Semigroup表示的，它是Monoid的超类，因此不可能有一个类型是Monoid的实例，而不是Semigroup的实例。

历史上，Semigroup和Monoid是单独的类，旧的Monoid发布了自己的mappend操作，相当于现代的<>。一些旧的书籍/教程仍然基于这个旧的类层次结构。

但是由于有许多类型只是半群，而不是一元，所以类的层次结构发生了变化。