奇异矩阵与非矩阵:行列式与秩的冲突

Question

我使用https://openresearch-repository.anu.edu.au/bitstream/1885/65527/2/01_Pozzi_Exponential_smoothing_weighted_2012.pdf中的附录C作为指南，从指数平滑的回报中建立了一个相关矩阵。

它是101×101矩阵，但由于以下相互矛盾的结果，我不知道它是否是奇异的：

• pracma::Rank说它的排名是101;

• matrixcalc::is.singular.matrix返回TRUE;

• base::determinant.matrix给出了一个非常接近于零的值.

pracma::Rank(try.wgtd.cor)
#[1] 101
matrixcalc::is.singular.matrix(try.wgtd.cor)
#[1] TRUE
base::determinant.matrix(try.wgtd.cor, logarithm = FALSE)
#$modulus
#[1] 2.368591e-55
#attr(,"logarithm")
#[1] FALSE
#
#$sign
#[1] 1
#
#attr(,"class")
#[1] "det"

有人知道为什么/怎么会这样吗？

Answer 1

不不要依赖行列式。一个小行列式不一定意味着奇点。例如，下面的对角线矩阵一点也不奇异，但行列式很小。

## all diagonal elements are 0.1; dimension 101 x 101
D <- diag(0.1, nrow = 101, ncol = 101)

## the obvious way to compute det(D)
prod(diag(D))
#[1] 1e-101

## use base::determinant.matrix
determinant.matrix(D, logarithm = FALSE)$modulus
#[1] 1e-101

行列式等于特征值的乘积。所以一般来说，如果一个矩阵的所有特征值都小于1，那么行列式一定会很小！

matrixcalc::is.singular.matrix是基于行列式的，所以不要相信它。此外，它的结果过于主观，因为您可以调整tol。

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相反，pracma::Rank使用QR和SVD分解来确定秩。结果非常可靠。下面是Rank的源代码(带我的注释)：

function (M) 
{
    if (length(M) == 0) 
        return(0)
    if (!is.numeric(M)) 
        stop("Argument 'M' must be a numeric matrix.")
    if (is.vector(M)) 
        M <- matrix(c(M), nrow = length(M), ncol = 1)
    ## detect rank by QR factorization
    r1 <- qr(M)$rank
    ## detect rank by SVD factorization
    sigma <- svd(M)$d
    tol <- max(dim(M)) * max(sigma) * .Machine$double.eps
    r2 <- sum(sigma > tol)
    ## check consistency
    if (r1 != r2) 
        warning("Rank calculation may be problematic.")
    return(r2)
}

总之，你的101x101矩阵try.wgtd.cor实际上有满的排名！