矩阵复制应该收敛，但它不收敛

Question

我试图计算这类矩阵之间乘法的特征值：

import numpy as np

μ=1.5
σ=0.5
m=np.random.normal(μ,σ)

P=[[-1, m, 0.1, 0.1],[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0]] #matrix

n=200

for i in range(n):
  m=np.random.normal(μ,σ)
  T=[[-1, m, 0.1, 0.1],[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0]]
  P=np.dot(T,P)

l,v=np.linalg.eig(T)
λ,w=np.linalg.eig(P)

print(l)
print(λ)

由于矩阵T的三个特征值小于1(在模中)，我期望与矩阵乘积P的特征值相似，特别是小于1的三个特征值将对应于P的特征值，后者随着n的增加而减小并收敛到0。事实上，在n=40之前，这是正确的。那就不再起作用了。对于σ=0，P是n个特征值小于1的矩阵的乘积，但P的特征值会发散。

Answer 1

您的T[i]不能保证特征值小于1。

添加一个断言，您将看到它何时违反了假设

import numpy as np

μ=1.5
σ=0.5
m=np.random.normal(μ,σ)

P=[[-1, m, 0.1, 0.1],[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0]] #matrix

n=200

for i in range(n):
  m=np.random.normal(μ,σ)
  T=[[-1, m, 0.1, 0.1],[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0]]
  assert np.all(abs(np.linalg.eigvals(T)) < 1)
  P=np.dot(T,P)

l,v=np.linalg.eig(T)
λ,w=np.linalg.eig(P)

print(abs(l))
print(λ)

作为一个随机系统，有时甚至违反约束条件，它可以收敛，但需要对序列的期望值进行一些细致的分析。

该矩阵结构类似于线性动态系统[1]中可控制的典范形式。

但是，由于矩阵T的特征值有时大于1，所以您建议的推理在这种情况下不适用。