在Haskell，单体变压器是独一无二的吗？

Question

有几个问题(例如，这和这)在Haskell (IO以外)的每个单播中是否都有相应的单台转换器。现在我想提出一个补充问题。是每个单机都有一个变压器(或者没有一个变压器，就像IO那样)，还是可以有多个变压器？

一个反例将是两个单台变压器，当应用到身份单端时会产生行为相同的单片，但如果应用到其他单模上，则会产生不同的行为单点。如果答案是一个单一的可以有多个变压器，我想有一个Haskell的例子，这是尽可能简单的。这些并不一定是真正有用的变压器(虽然这会很有趣)。

链接问题中的一些答案似乎表明，一台单机可能有多台变压器。然而，除了范畴的基本定义之外，我不知道更多的范畴理论，所以我不确定它们是否是这个问题的答案。

Answer 1

标识单元至少有两个单一变压器:标识单变压器和共密度单片变压器。

newtype IdentityT m a = IdentityT (m a)
newtype Codensity m a = Codensity (forall r. (a -> m r) -> m r)

实际上，考虑到Codensity Identity，forall r. (a -> r) -> r与a是同构的。

这些单台变压器完全不同。例如，可以将“括号”定义为Codensity中的一元操作。

bracket :: Monad m => m () -> m () -> Codensity m ()
bracket before after = Codensity (\k -> before *> k () *> after)

然而，将该签名转换到IdentityT并没有多大意义

bracket :: Monad m => m () -> m () -> IdentityT m ()  -- cannot implement the same functionality

其他的例子也可以从延拓/共密度monad的变体中找到，尽管我还没有看到一般的方案。

状态单模对应于状态单端变压器以及Codensity和ReaderT的组成。

newtype StateT s m a = StateT (s -> m (s, a))
newtype CStateT s m a = CStateT (Codensity (ReaderT s m) a)

列表单片对应至少三个单台变压器，但不包括错误的变压器：

newtype ListT m a = ListT (m (Maybe (a, ListT m a)))  -- list-t
newtype LogicT m a = LogicT (forall r. (a -> m r -> m r) -> m r -> m r)  -- logict
newtype MContT m a = MContT (forall r. Monoid r => (a -> m r) -> m r))

前两个可以分别在包列表-t (也是喉管中的等效形式)和罗克特中找到。

Answer 2

这里有一个关于唯一性的反例子的想法。我们知道在一般情况下，单簧管不构成..。但是我们也知道，如果有一个适当的swap操作，您可以编写them1！让我们为可以与自己交换的monads创建一个类。

-- | laws (from [1]):
-- swap . fmap (fmap f) = fmap (fmap f) . swap
-- swap . pure = fmap pure
-- swap . fmap pure = pure
-- fmap join . swap . fmap (join . fmap swap) = join . fmap swap . fmap join . swap
class Monad m => Swap m where
    swap :: m (m a) -> m (m a)

instance Swap Identity where swap = id
instance Swap Maybe where
    swap Nothing = Just Nothing
    swap (Just Nothing) = Nothing
    swap (Just (Just x)) = Just (Just x)

然后，我们可以构建一个单台变压器，它可以自己组成一个单台，如下所示：

newtype Twice m a = Twice (m (m a))

希望pure和(<$>)所做的事情应该是显而易见的。我将定义(>>=)，而不是定义join，因为我认为它所发生的事情更加明显；(>>=)可以从它派生出来。

instance Swap m => Monad (Twice m) where
    join = id
        . Twice                        -- rewrap newtype
        . fmap join . join . fmap swap -- from [1]
        . runTwice . fmap runTwice     -- unwrap newtype

instance MonadTrans Twice where lift = Twice . pure

我没有检查lift是否对所有Swap实例都遵守了MonadTrans定律，但我确实检查了它们的Identity和Maybe。

现在，我们

IdentityT Identity ~= Identity ~= Twice Identity
IdentityT Maybe    ~= Maybe   !~= Twice Maybe

这表明IdentityT并不是生产Identity的唯一单变压器。

由Mark P. Jones和Luc Duponcheel创作的单曲

Answer 3

还有另一个例子，一个单一的，有两个不平等的变压器：“选择”单。

 type Sel r a = (a -> r) -> a

这个单子并不为人所知，但有一些报纸提到了它。这是一个参考一些文件的包裹：

https://hackage.haskell.org/package/transformers-0.6.0.4/docs/Control-Monad-Trans-Select.html

该包实现了一个转换器：

type SelT r m a = (a -> m r) -> m a

但是有第二个变压器：

type Sel2T r m a = (m a -> r ) -> m a

证明这台变压器的法律比较困难，但我已经做到了。

第二个转换器的一个优点是它在m中是协变的，因此可以定义hoist函数：

 hoist :: (m a -> n a) -> Sel2T r m a -> Sel2T r n a

第二个变压器是“全功能”，有所有的电梯和“提升机”。第一个转换器功能不全；例如，您不能定义blift :: Sel r a -> SelT r m a。换句话说，不能将Sel中的一元计算嵌入到SelT中，就像不能用连续单元和共密度元嵌入一样。

但是使用Sel2T转换器，所有的电梯都存在，您可以将Sel计算嵌入到Sel2T中。