前门调整证明中乘法步骤的论证

Question

我读过的前门调整的校样有三个步骤：

1. 显示P(M=do(X))是可识别的
2. 显示P(Y=do(M))是可识别的
3. 将P(M_x_do(X))和P(y_x_do(M))的无氧表达式相乘得到P(Y_x_d(X))

其中Y，X，M满足前门调整的假设。符合这些假设的图表是：

X->M;M->Y;U->X;U->Y

我肯定我在这里很傻，但我不明白为什么简单地把表达式相乘，得到P(Y=do(X))。

这就像在说：

P(Y|do(X)) = P(Y|do(M)) * P(M|do(X))

(也许对前门调整的假设是必要的)但我在因果推理的研究中没有认识到这条规则。

Answer 1

形式描述在图中有一个中介和一个未观察到的混乱，就像你描述的那样，路径X->M->Y被混淆了。然而，路径X->M是没有混淆的(Y是一个对撞机)，我们可以通过对X的控制来估计M->Y，这样就给出了构成路径X->Y的两个因果量。对于任何类型的因果函数，沿着几个边传播效应意味着组成描述每个边的函数。在线性函数的情况下，这相当于它们的乘法(线性假设在因果推理中非常常见)。

就像你说的，我们可以把这个写成

P(M|do(X)) = P(M|X)  # no controls necessary
P(Y|do(M)) = E_T(Y|X,T)  # we marginalize out T
P(Y|do(X)) = P(M|do(X)) * P(Y|do(M))  # composing the functions

直觉：直觉：整个前门过程的“诀窍”在于认识到，我们可以将沿着多个边的因果路径的估计分解为其分量的估计，这可以不用调整(X->M )或使用后门准则(在我们的情况下是M->Y)来解决。然后，我们可以简单地组合各个部分，以获得整体效果。

在这个视频中也给出了一个很好的解释。