用Pari-GP检验偶数亏完全数猜想的反例

Question

我试着用MSE问题的Pari解释器检查这个Sage单元服务器中所述猜想的反例。

我在这里重现了猜想的陈述:如果N>8是偶数亏-完全数，Q=N/(2N-Sigma(N))，则Q是素数。

在这里，σ( N )是N的经典除数和。

我使用以下代码：

for(x=9, 1000, if(((Mod(x,(2*x - sigma(x))) == 0)) && ((fromdigits(Vecrev(digits(x / (2*x - sigma(x)))))) == (x / (2*x - sigma(x)))) && !(isprime((x / (2*x - sigma(x))))), print(x,factor(x))))

但是，Sage Cell Server的Pari解释器不接受它，而是提供了以下错误消息：

  ***   at top-level: for(x=9,1000,if(((Mod(x,(2*x-sigma(x)))==0))&&
  ***                                   ^----------------------------
  *** Mod: impossible inverse in %: 0.

我做错了什么？

Answer 1

下面是您算法的更好实现

{
  forfactored(X = 9, 10^7,
    my (s = sigma(X), t = 2*X[1] - s);
    if (t <= 0, next);
    my ([q, r] = divrem(X[1], t));
    if (r == 0 && fromdigits(Vecrev(digits(q))) == q && !ispseudoprime(q),
      print(X)))
}

它更具可读性，但最重要的是，它避免了一次又一次地对同一个x进行分解:每次编写sigma(x)时，我们都需要考虑x (解释器不够聪明，无法计算一次子表达式)。实际上，它并不是通过使用forfactored来执行单一的因式分解，而是执行一个筛子(变量X包含[x, factor(x)])。在这个范围内，这大约比最初的实现快3倍。

我让它运行到10^9 (大约10分钟)，没有更多的反例。

Answer 2

我自己做的。

下面是我使用的代码：

for(x=9, 10000000, if((2*x > sigma(x)) && ((Mod(x,(2*x - sigma(x))) == 0)) && ((fromdigits(Vecrev(digits(x / (2*x - sigma(x)))))) == (x / (2*x - sigma(x)))) && !(isprime((x / (2*x - sigma(x))))), print(x,factor(x))))

搜索返回奇怪的反例N= 9018009，这是预期的。

在指定的范围内，它没有返回任何偶数反例。