非线性变量关系的线性约束

Question

假设有两个连续变量的数学优化问题：

0 <= x <= 1
0 <= y <= 1000

我正在寻找一种有效的方法，以线性约束的形式(可能使用二进制/整数变量和大M)表示以下非线性关系，因此这个问题可以用milp求解器来解决：

when   0 <= y < 200      then   x = 0
when   y = 200           then   0 <= x <= 1
when   200 < y <= 1000   then   x = 1

数字200和1000是指示性的。

是否有针对类似问题的直接建议或论文/书籍？

Answer 1

我想这会成功的..。

我是这么想的。您需要注意三个状态，它们是y域上的3个分区。因此，2个二进制变量可以捕获这3种状态。为了保持线性，你需要处理非严格的不等式。因此，请定义：

y_lb ∈ {0, 1} and let y_lb = 1 if y >= 200
y_ub ∈ {0, 1} and let y_ub = 1 if y <= 1000

现在，我们已经根据y_lb和y_ub的真值表设置了分区。

y        y<200    200<=y<=1000    y>1000
y_lb       0    |      1        |    1
y_ub       1    |      1        |    0

现在我们可以很容易地将真值表链接到约束x

x ∈ Reals
x <= y_lb
x >= 1 - y_ub