在GEKKO中导出流形上的最佳轨迹

Question

我终于回到了我的项目中，并找到了我的下一个障碍。

我有一个封闭式歧管：

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另外，这里有一个游戏中的轨迹示例

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我可以让我的系统像普通车一样开着。我很好奇在gekko中加入这种约束的最好方法是什么。歧管看起来像一个圆边和圆角的立方体。我现在的想法是创建一个MLP (多层感知器)来近似流形上表面上每个点的法向量。我试着使用GEKKO的大脑模型来做这件事，但它最终非常慢，所以我转向了keras模型。我现在有一个keras模型，它将位置连接到法向量的准确率约为89% (这可能已经足够了)。

所以我的第一件事是，我如何将keras模型合并到我的gekko方程中？如果我能够计算每个点的神经网络输出的导数，是否可以对模型进行黑箱操作，使得gekko放置一个位置，然后黑箱函数输出一个法向量和这个法向量导数，最终计算出最优轨迹？

如果这是不可能的，你认为我可以很容易地将这个歧管建模为B样条曲线？当系统处于驾驶状态时，我应该如何处理使歧管曲面成为系统的约束？我的想法是，取系统当前的速度矢量，并将其与系统所在位置的流形的法向量打点，以获得速度矢量沿流形旋转了多少。我已经看到了一些问题，比如大的时间步长，缺少流形的曲率，导致系统离开流形的表面。我认为这样做的典型数学方法是将系统的速度投影到流形的“切线空间”中，在切线空间中导出未来状态，然后使用回缩将其映射回流形。我对拓扑和流形这个话题还是相当陌生的，所以如果我在理论上犯了错误，请纠正我。

我还没有太多的代码来做这件事，因为我被困在如何在等式中使用keras模型。我确实有一个更简单的问题，那就是在R2中，我不是在这个复杂的流形上行驶，而是在一个圆圈上行驶。我也使用keras模型在R2中对这个圆进行了建模。我计划从更简单的版本开始，如果我能够在方程中使用keras，然后再开始在R3中的流形上驾驶。

有没有类似的例子可以让我学习呢？

谢谢!很高兴能回到这个项目中。

Answer 1

这个路径规划优化应用程序可能更好地使用拍摄方法，其中模型是优化器反复调用模拟器的“黑盒”。其中一些挑战是当车辆与地面相互作用而不是在空中时，变化的方程。如果您确实想要同时模拟地面和空中，则可以使用if3语句进行切换，或者使用松弛变量。

对于边界约束，也许有一种更简单的方法来开始建模，比如形成一个盒子的简单不等式约束。您可以为边添加额外的不等式约束，以模拟曲率。

下面是一个相关的应用程序，其中包含适用于空气动力学的rocket launch。您需要将其扩展到3D。

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from gekko import GEKKO

# create GEKKO model
m = GEKKO()

# scale 0-1 time with tf
m.time = np.linspace(0,1,101)

# options
m.options.NODES = 6
m.options.SOLVER = 3
m.options.IMODE = 6
m.options.MAX_ITER = 500
m.options.MV_TYPE = 0
m.options.DIAGLEVEL = 0

# final time
tf = m.FV(value=1.0,lb=0.1,ub=100)
tf.STATUS = 1

# force
u = m.MV(value=0,lb=-1.1,ub=1.1)
u.STATUS = 1
u.DCOST = 1e-5

# variables
s = m.Var(value=0)
v = m.Var(value=0,lb=0,ub=1.7)
mass = m.Var(value=1,lb=0.2)

# differential equations scaled by tf
m.Equation(s.dt()==tf*v)
m.Equation(mass*v.dt()==tf*(u-0.2*v**2))
m.Equation(mass.dt()==tf*(-0.01*u**2))

# specify endpoint conditions
m.fix(s, pos=len(m.time)-1,val=10.0)
m.fix(v, pos=len(m.time)-1,val=0.0)

# minimize final time
m.Obj(tf)

# Optimize launch
m.solve()

print('Optimal Solution (final time): ' + str(tf.value[0]))

# scaled time
ts = m.time * tf.value[0]

# plot results
plt.figure(1)
plt.subplot(4,1,1)
plt.plot(ts,s.value,'r-',linewidth=2)
plt.ylabel('Position')
plt.legend(['s (Position)'])

plt.subplot(4,1,2)
plt.plot(ts,v.value,'b-',linewidth=2)
plt.ylabel('Velocity')
plt.legend(['v (Velocity)'])

plt.subplot(4,1,3)
plt.plot(ts,mass.value,'k-',linewidth=2)
plt.ylabel('Mass')
plt.legend(['m (Mass)'])

plt.subplot(4,1,4)
plt.plot(ts,u.value,'g-',linewidth=2)
plt.ylabel('Force')
plt.legend(['u (Force)'])

plt.xlabel('Time')
plt.show()

这是另一个带有source files的landing of a reusable rocket应用程序。他们开发了火箭动力学的代理模型，将该模型应用于预测控制。

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这是一个3D火箭应用程序的例子，但它们没有改变动力学方程时地面交互的复杂性。