基于多变量的成本优化

Question

所以我有一个我正在尝试优化的场景。这纯粹是轶事，我需要帮助解决问题的理论和考虑方面的指导：

假设我们有4家公司(A-D)为一家更大的公司提供劳动力。每家公司对可用劳动力的生产率进行独立评分，范围从1到100 (公司A的得分为60，公司B的得分可能为30，依此类推)。每家公司还提供独立于生产率得分的人工费率(该列表中可能有高成本、低生产率的工人，反之亦然)。

这家大公司的问题是，它想要制定一个多年计划，从4个名单中挑选员工。他们必须最小化预算中的误差(允许一些超支/欠支，但不能太多)，最大限度地提高生产率(首先选择生产较高的工人)，并最小化公司之间的差异(所有公司支付的金额接近相等)。一旦选择了某个工人，它就会从列表中删除。

这读起来像是一个非线性优化问题，但我不确定可以用来解决这个问题的具体理论、算法等。任何类型的方向或起点都将受到极大的赞赏。

Answer 1

我认为这可以用线性混合整数规划(MIP)模型来表示。

这是我的模型：

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​

连续变量是非负的。

让我们用一些数据来尝试一下。

----     34 PARAMETER cost  rate

              A           B           C           D

p1       58.587      92.163      77.519      65.057
p2       64.611      61.203      67.492      92.814
p3       53.356      75.011      99.906      78.937
p4       99.557      88.113      56.535      81.986
p5       57.976      62.504      83.446      71.768
p6       67.985      67.572      56.575      57.505
p7       79.456      91.545      61.541      83.287
p8       88.793      65.183      55.525      75.119
p9       58.009      93.623      63.256      64.291
p10      79.698      86.136      81.412      73.190
p11      70.665      55.885      65.711      52.328
p12      66.928      59.105      82.286      78.037
p13      88.498      64.890      83.055      87.791
p14      81.372      64.193                  54.321
p15      55.126      82.063                  77.265
p16                  51.576                  89.618
p17                  53.638                  58.783
p18                  76.282


----     34 PARAMETER budget               =     2500.000  available budget
            PARAMETER w1                   =        1.000  weight for budget error
            PARAMETER w2                   =        2.000  weight for range in amounts

我在这里假设人员p是按生产力排序的: p1是最有生产力的。

当我求解该模型时，结果如下所示：

----     89 PARAMETER costreport  

                    A           B           C           D        cost

p1             58.587      92.163      77.519      65.057
p2             64.611      61.203      67.492      92.814
p3             53.356      75.011      99.906      78.937
p4             99.557      88.113      56.535      81.986
p5             57.976      62.504      83.446      71.768
p6             67.985      67.572      56.575      57.505
p7             79.456      91.545      61.541      83.287
p8             88.793      65.183      55.525      75.119
p9             58.009                  63.256
total         628.328     603.293     621.793     606.472    2459.886
budget                                                       2500.000
budgeterr                                                      40.114
min                                                           603.293
max                                                           628.328
range                                                          25.036

我们可以看到总成本是2459.886，这意味着与预算的偏差约为40%。每个公司花费的金额范围是25 (范围是最大值减去最小值)。此外，请注意，人员是根据他们的顺序进行选择的(请记住，我们是按生产力递减对用户进行排序的)。

这是一个简单的MIP模型，可以用任何MIP解算器求解。