为什么SymPy求解对高次多项式给出空集？

Question

我必须找到nullclines intersect的平衡点。我的代码如下。

>>> from sympy import symbols, Eq, solve
>>> A,M = symbols('A M')
>>> dMdt = Eq(1.05 - (1/(1 + pow(A,5))) - M)
>>> dAdt = Eq(M*1 - 0.5*A - M*A/(2 + A))
>>> solve((dMdt,dAdt), (M,A))
[]

为什么它不给出一个解决方案？

Answer 1

当我努力得到解决方案时，你会明白为什么。

我将方程写为e1和e2 --不使用第二个参数的Eq不再起作用(或者在最新版本的SymPy中使用警告)：

>>> from sympy import solve, nsimplify, factor, real_roots
>>> from sympy.abc import A, M
>>> e1 = (1.05 - (1/(1 + pow(A,5))) - M)
>>> e2 = (M*1 - 0.5*A - M*A/(2 + A))

使用e1求解M

>>> eM = solve(e1, M)[0]

替换为e2

>>> e22 = e2.subs(M, eM); e22
-0.5*A - 0.05*A*(21.0*A**5 + 1.0)/((A + 2)*(A**5 + 1.0)) + 0.05*(21.0*A**5 + 1.0)/(A**5 + 1.0)

获取分子和分母

>>> n,d=e22.as_numer_denom()

找到这个表达式的真正根(它只依赖于A)

>>> rA = real_roots(n)

通过将每个值替换到eM中，找到M的相应值：

>>> [(a.n(2), eM.subs(A, a).n(2)) for a in rA]
[(-3.3, 1.1), (-1.0, zoo), (-0.74, -0.23), (0.095, 0.050)]

A= -1的根是虚假的--如果您查看e1的分母，您将看到这样的值导致除以零。这样就可以忽略根。其他的可以是verified graphically。

为什么solve没有给出解决方案？它不能给出这个闭合形式的高阶多项式的解。即使你对上面描述的分子进行因式分解(并用nsimplify将浮点数转化为有理数)，你也会得到一个7次因子：

>>> factor(nsimplify(n))
-(A + 1)*(A**4 - A**3 + A**2 - A + 1)*(5*A**7 + 10*A**6 - 21*A**5 + 5*A**2 + 10*A - 1)/10