二重积分的自适应Simpson求积算法？

Question

我目前使用Richard L Burden的Numerical Analysis第10版作为近似积分技术的参考。在这里，它描述了自适应辛普森求积规则，该规则只输入边界和误差公差，并在误差公差的精度内输出近似积分。这种方法比标准的辛普森规则更有效，在标准辛普森规则中，您必须输入迭代次数，而不知道它与实际解的距离有多近。然而，这本书继续描述了一种使用辛普森规则的二重积分方法，但没有描述二重积分的算法自适应辛普森求积规则。有人知道二重积分的自适应辛普森规则的伪算法吗？

作为参考，这是用于单积分的复合辛普森规则的伪算法:输入边界(a，b)和n次迭代

 `NAME: compositeSimpsons(a, b, n):
h=(b-a)/n
first = f(a)
last = f(b)
sum=0
x = a+h
for(i=2:n-1)
   if(i%2==0) // even
      sum+=4*(x)
   else // odd
      sum+=2*f(x) 
x+=h
end for
return (h/3) * (first+sum+last)`

这里是单积分的自适应辛普森求积的伪算法：(输入界a，b)和容差(tol)

`NAME: adaptiveQuadratureSimspons(a, b, tol):
myStack.push(a)
myStack.push(b)
I=0
while(myStack is not empty)
    bb = myStack.pop()
    aa = myStack.pop()
    I1 = compositeSimpsons(aa, bb, 2)
    m = (aa+bb)/2
    I2 = compositeSimpsons(aa, mm, 2) + compositeSimspons(mm, bb, 2)
    if(|I2-I1|/15 < (bb-aa)*tol)
        I += I2
    else
        myStack.push(m)
        myStack.push(bb)
        myStack.push(aa)
    myStackl.push(m)
end while
return I`

两个积分的辛普森规则的算法变得非常复杂，因为你用不同的细分来替换每次迭代的x变量，所以除非必要，否则我不会在这里详细介绍。然而，我知道问题不是那个算法，因为我已经尝试过很多次了，对于许多不同的双重积分问题都很好用。我尝试使用与自适应辛普森规则相同的逻辑，将compositeSimpsons()替换为我的compositeSimpsonsDouble()，这与自适应辛普森规则中的双积分自适应辛普森规则相同，但它进入了无限循环，因为I2和I1之间的差值总是小于容差。有什么帮助吗？用Java编写代码

Answer 1

在数值求积的行话中，“双重积分”的作用并不像你想要积分函数的域那么大。在一维中它总是一个区间，在二维中它可以是一个圆盘，一个矩形，一个三角形，一个带有权函数exp(-r**2)的平面，等等，也许你的二重积分就是其中之一。对于所有这些不同的领域，您都有不同的集成技术。有关示例，请参阅https://github.com/nschloe/quadpy。

对于2D中的自适应求积，我的第一个冲动是检查域是否可以由许多三角形很好地近似。就像1D中的间隔一样，如果误差估计器建议的话，这些间隔可以很容易地分割成更小的三角形。

请查看https://github.com/nschloe/quadpy/wiki/Adaptive-quadrature，了解如何使用quadpy完成此操作。