Python minimize_scalar计算多项式最小值不正确

Question

我正在尝试用minimize_scalar来计算一维多项式的最小值和最大值。

多项式为x^{6}-2x^{5}-26x^{4}+28x^{3}+145x^{2}-26x-80

代码如下所示

import numpy as np
from scipy.optimize import *
ppar = np.array([1, -2, -26, 28, 145, -26, -80])
p = np.poly1d(ppar)
print p

maximum = minimize_scalar(-p, bounds=(-3.978, 3.068), method = 'bounded')
print "(-3.978, 3.068)", -maximum.fun
print maximum

minimum = minimize_scalar(p, bounds=(-3.978, 3.068), method = 'bounded')
print "(-3.978, 3.068)", minimum.fun
print minimum

结果是

   6     5      4      3       2
1 x - 2 x - 26 x + 28 x + 145 x - 26 x - 80
(-3.978, 3.068) 86.0883584933
  status: 0
    nfev: 12
 success: True
     fun: -86.0883584932823
       x: -1.5444720061831096
 message: 'Solution found.'
(-3.978, 3.068) -81.1476243092
  status: 0
    nfev: 11
 success: True
     fun: -81.147624309245643
       x: 0.08767224353999728
 message: 'Solution found.'

但是，一维多项式的实际解应该是最大值: x=2.176时为264.155，x= -436.947时为最小值-3.391

有没有人知道我的代码出了什么问题，或者我漏掉了什么？

感谢您的帮助和意见。

Answer 1

多项式是振荡的，并且有几个极值。你得到的是完全不同的。请注意，局部最小化程序找到一个最小值，如果有多个最小值，它会报告其中一个。

对于多项式，最好使用专门的最小化函数。例如，使用伴生矩阵方法微分并找到导数的根：

In [53]: coef = [-26, 2*145, 3*28, -4*26, -5*2]    # coefficients for the derivative

In [54]: coef = np.asarray(coef, dtype=float)

In [55]: coef /= 6  # make it monic

In [56]: coef
Out[56]: array([ -4.33333333,  48.33333333,  14.        , -17.33333333,  -1.66666667])

In [57]: a = np.diag(np.ones(4), -1)     # build the companion matrix

In [58]: a[:, -1] = -coef

伴随矩阵的特征值是导数的根(反之亦然)，因此原始多项式的极值：

In [61]: np.linalg.eigvals(a)
Out[61]: array([-3.39056572, -1.54447197,  0.08767236,  2.17555358,  4.33847842])

In [62]: pp = np.poly1d([1, -2, -26, 28, 145, -26, -80])   # sanity check

In [63]: pp(np.linalg.eigvals(a))
Out[63]: 
array([-436.94699498,   86.08835849,  -81.14762431,  264.15457395,
       -794.0522912 ])

必须注意的一点是，最好避免高次多项式，因为它们是不稳定的。

Answer 2

简单的答案是使用scipy.optimize.minimize_scalar，您可以找到局部最小值。详细信息在@ev-br answer中。但是，您可以使用global optimization方法在给定的范围内查找函数的全局最小值。即使在这种情况下，您也应该准备好这些方法也可能失败，因为在幕后使用了局部最小化程序。在下一个示例中，您可以看到shgo优化器无法找到全局最小值：

import numpy as np
from scipy import optimize

p = np.poly1d([1, -2, -26, 28, 145, -26, -80])

bounds = [(-3.978, 3.068)]

results = {}

results['shgo'] = optimize.shgo(p, bounds)    
results['DA'] = optimize.dual_annealing(p, bounds)    
results['DE'] = optimize.differential_evolution(p, bounds)

print(results['shgo']['x'], results['DA']['x'], results['DE']['x'])
[0.08767235] [-3.39056566] [-3.39056573]