非线性回归为每次运行产生不同的结果

Question

我一直在尝试使用MATLAB的拟合函数来拟合幂律分布：ns ~ s^-a (where ns is the probability density function; s is the empirical observation; and a is the scaling exponent)与我的经验数据(参见链接)。然而，我在获得可重现的解决方案时遇到了问题。如果不指定起始点，则每次运行都会得到不同的结果--尽管我使用的是相同的数据集。然后，当我指定一个起始点时，该函数会给出与我指定的起始点相同的结果。此外，无论我是否指定了诸如Levenberg-marquardt之类的算法，或者是否使用了默认算法，问题都仍然存在。我的代码如下：

clc; clear; close all;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Load data
[data, ~, ~] = xlsread('myDataset.xlsx',1,'A:A'); 

%%%%%%%%%%%%%%%%%% Histogram plot 
data = sort(data);
[y, edges] = histcounts(data, 100000, 'Normalization','pdf');
edges = edges(2:end) - (edges(2)-edges(1))/2;
figure;
scatter(edges, y, 4, 'ro', 'Markerfacecolor', 'r');
hold on;
box on;

edges = edges';
y = y';

%%%%%%%%%%%%%%%%%% Specify input parameters
%(1): cut-off value
xmin = 1*10^5; 
%(2): x-values after cut-off
x    = edges(edges>=xmin);
ind  = find(edges>=xmin,1,'first');
%(3): y-values after cut-off
y([1:ind-1]) = [];

%%%%%%%%%%%%%%%%%% fit power-law model
f = fittype('b*x.^-a'); 
fModel = fit(x, y, f, 'Algorithm','levenberg-marquardt'); 
coeffs = coeffvalues(fModel);
plot(fModel,'b--')

set(gca, 'xscale','log', 'yscale','log')
xlabel('s', 'fontsize',8)
ylabel('ns', 'fontsize',8)

据说a的值在2.189附近。虽然我可能不会得到这个确切的值-因为它将取决于数据集，但我希望至少得到大约1.5 - 2范围内的值。

我非常感谢任何对解决这个问题有用的帮助、建议或参考。有关经验数据，请参阅以下链接。https://gofile.io/?c=EoEW7k

非常感谢。

Answer 1

如果您正在尝试将您的数据适合幂律分布y=ax^b，那么您应该检查this或this链接，因为它们为a和b术语提供了封闭形式的解决方案。

对于方程的适用性的推理，或者对“它来自哪里”的解释，来自于用于获得线性回归的最小二乘拟合的公式。

如果你有一个形式为y=ax+b的方程，你可以从最小二乘线性回归中找到a和b。如果你有幂律，y=ax^b。记录两端并使用logarithm properties获取：

log(y)=log(a)+blog(x)→Y=A+BX→Linear→log(y)=log(ax^b)→→(y=ax^b方程式和方程式→

可以使用log(x)和log(y)的线性回归公式来获得a和b。这避免了使用数值方法来获得非线性拟合的回归。

MATLAB内置函数fit解决了最小二乘拟合的优化问题-它试图最小化残差的平方和。如果您的问题是非线性的，则该算法依赖于良好的初始估计。不同的初始估计可能会产生不同的结果。这就是非线性问题和优化的问题。

作为一个经验法则，每次你必须做拟合，如果你的问题不是线性的，你应该尝试的第一步是看看你是否可以线性化你的方程。如果可以，就像这里的情况一样，您可以获得系数的封闭形式解，而不需要依赖于数值方法和好的/差的初始估计。