么半群和函子之间的关系是什么？

Question

我试图理解函子和么半群之间的关系。它们经常一起被提及，但我一直无法很好地将它们联系起来。

我知道，简单地说，在编程中，monoid可以被认为是一种结构或数据类型，具有用于组合结构中的元素的关联append/concat函数，以及标识元素，如果您将标识值与结构中的元素进行交换组合，则它将始终返回相同的元素。

我还认识到，在编程中，可以将函数器视为具有类似于Array.prototype.map()的映射操作的类似集合的结构。

有人能帮我看一下这里的全貌吗？另外，如果我在理解这些概念时遗漏了什么，请随时告诉我。

Answer 1

是类别之间保持结构的转换函数器。

它

1. 将对象从一个类别映射到另一个
2. 的对象，同时还保留对象之间的箭头

有点像范畴之间的同态。

在像Haskell这样的FP语言中，函数器类的定义有两部分：

class Functor f where 
  fmap :: (a -> b) -> (f a -> f b) 

类型f是将对象(Haskell类型)映射到同一类别中的其他对象(Haskell类型)的类型。它将a映射到f a。

么半群(带单位的semigroups)

带操作的集合A set，S

• combined，• : S × S → S

• and an element of S，e : 1 → S

在Haskell中定义如下

class Semigroup s => Monoid s where
  mempty  :: s
  
  mappend :: s -> s -> s
  mappend = (<>)

它们是两个不同的东西，但是

他们经常被提到在一起，但我不能很好地把它们联系起来。

他们经常被提到在一起是因为另一件事，Monad。

一元(内函子中的么半群或么半群的特例)是

通过自然转换，itself)

• along表示(join)

• and (return)

的

1. T : S → S ( endofunctor是一个简单的从类别到μ : S × S → S的函子，其中×表示functor composition (join)
2. and η : I → S，其中I是S endofunctor上的identity endofunctor

它本质上结合了这两个概念。

在Haskell

(>>=)       :: m a -> (a -> m b) -> m b
(>>)        :: m a -> m b -> m b
return      :: a -> m a

暗示

fmap f m  =  m >>= return . f

更简洁地说，

一个单体只是endofunctors，范畴中的一个

么半群，有什么问题吗？，，a，，a，monad，is，a，monad，什么问题？

你可能已经在FP论坛上看到过它被开玩笑地使用过。这是一个版本

是X的内函子范畴中的么半群

最初来自Mac Lane的职业数学家分类。

Answer 2

这两个术语都来自范畴论，这是一个数学分支，研究元素的理论，元素之间的关系和元素之间函数的可组合性。这个学科在函数式编程中有很强的影响力，正因为如此，这些术语通常会出现在关于这些范例的讨论中。

在实际中，函数式和么半式术语到编程的转换如下：

Functor 保留了两个不同cathegory的元素之间的结构和关系，这意味着Functor是一个“结构”，它提供一个元素的构造器。(保留结构，因为每个元素都映射到另一个cathegory的元素)和一个映射函数(保留将原始cathegory的每个函数映射到目标函数的关系“函数”)。

monoid 它是定义和标识操作和关联操作的内函数(源和目标存储相同的函数)，例如，列表是么半群，因为它定义了标识操作(空列表)和关联操作(append)。