使用Dijkstra检测多条最短路径

Question

给定一个加权有向图，如何修改Dijkstra算法以测试给定节点对之间是否存在多条最低成本路径？

我目前的算法如下：(归功于Weiss)

/**
 * Single-source weighted shortest-path algorithm. (Dijkstra) 
 * using priority queues based on the binary heap
 */
public void dijkstra( String startName )
{
    PriorityQueue<Path> pq = new PriorityQueue<Path>( );

    Vertex start = vertexMap.get( startName );
    if( start == null )
        throw new NoSuchElementException( "Start vertex not found" );

    clearAll( );
    pq.add( new Path( start, 0 ) ); start.dist = 0;

    int nodesSeen = 0;
    while( !pq.isEmpty( ) && nodesSeen < vertexMap.size( ) )
    {
        Path vrec = pq.remove( );
        Vertex v = vrec.dest;
        if( v.scratch != 0 )  // already processed v
            continue;

        v.scratch = 1;
        nodesSeen++;

        for( Edge e : v.adj )
        {
            Vertex w = e.dest;
            double cvw = e.cost;

            if( cvw < 0 )
                throw new GraphException( "Graph has negative edges" );

            if( w.dist > v.dist + cvw )
            {
                w.dist = v.dist +cvw;
                w.prev = v;
                pq.add( new Path( w, w.dist ) );
            }
        }
    }
}

Answer 1

如果您只想找到一条其他等价路径

假设您已经运行了一次Dijkstra算法来获得最短路径P。您可以在P中的每条边添加一个微小的成本epsilon，并在修改后的图上第二次运行Dijkstra's，以获得新的路径P'。如果P和P'包含相同的边，则可以得出P是唯一最短路径的结论。否则，我们撤消epsilon更改并比较P和P'的长度。如果长度相等，那么显然P'是另一条截然不同的最短路径。否则，P是唯一的最短路径。

如果我们想找出所有最短路径

这样的算法必然是指数时间的。这是因为一个图在两个节点之间可以有指数级的多条等价路径。例如，考虑下面的图：

A --> B1 --> C --> D1 --> E ...
  \       ->   \       ->
   -> B2 /      -> D2 /

从A到E有4条路径，如果我们假设所有边的成本相等，那么所有这些路径的总成本都相等。通过重复这个模式，我们可以得到成倍增长的相等成本的路径。

Answer 2

将前一个顶点的链接字段prev替换为集合prevs，并稍微修改代码：

...

        if( w.dist >= v.dist + cvw ) {
            if ( w.dist > v.dist + cvw ) {
                w.dist = v.dist +cvw;
                w.prevs.clear();
            }
            w.prevs.add(v);
            pq.add( new Path( w, w.dist ) );
        }

...