float如何保证7位精度？

Question

据我所知，单精度浮点数有1位表示符号，8位表示指数，23位表示尾数。

我可以理解7位整数适合23位尾数，并且不会降低精度，但我不能理解像1234567000000000这样的数字如果没有松散的"1,2,3,4,5,6,7“数字是如何拟合的，这背后的数学原理是什么？

Answer 1

我看到了一个这样的数学证明：

-log10(2^(-24)) = 7.225

24表示包含点前的1。如果不是，则在点之前包括1：

-log10(2^(-23)) = 6.9

Answer 2

我不能理解像1234567000000000这样的数字如果没有松散的"1,2,3,4,5,6,7“数字是如何拟合的，这背后的数学原理是什么？

我不太明白你这里的理由。无论如何，下面是如何将1234567000000000转换为IEEE-754 binary32 (也称为.single，也就是C中的float )：

1.09651577472686767578125 * 2**50

指数应用偏置(-127)，尾数和指数以基数2编码，尾数的第一位被丢弃，因为它始终是1。

自己检查一下https://babbage.cs.qc.cuny.edu/IEEE-754/

正如您可以注意到的，转换为float后的十进制值不等于1234567000000000，而是大约等于1234567008616448，您可以看到前7位数字匹配。

由于用于编码尾数的比特量有限(也由于转换为基数2)，精度损失发生在较低有效数字中。