计算半铰接式汽车的位移坐标

Question

如下图所示，我正在创建一个程序，该程序将制作由两个铰接部分组成的卡车的2D动画。

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​

卡车拉着拖车。

拖车根据卡车上的停靠轴移动。

然后，当卡车转弯时，拖车应该逐渐与卡车的新角度对齐，就像在现实生活中一样。

我想知道是否有任何公式或算法可以简单地进行这种计算。

我已经看到了逆运动学方程，但我认为只要有两个部分，它就不会那么复杂。

有人能帮我吗？

Answer 1

设A为前轴下方的中点，B为中轴下方的中点，C为后轴下方的中点。为简单起见，假设故障发生在点B。这些都是time t的函数，例如A(t) = (a_x(t), a_y(t)。

诀窍是这样的。B直接向A移动，A的速度分量在那个方向上。或者在symbols，dB/dt = (dA/dt).(A-B)/||A-B||和类似的dC/dt = (dB/dt).(B-C)/||B-C||中，.是点积。

这就变成了一个有6个变量的非线性一阶系统。这可以用普通的技术来解决，比如https://en.wikipedia.org/wiki/Runge%E2%80%93Kutta_methods。

更新：添加了代码

这是一个Python实现。您可以将它替换为您最喜欢的语言和线性代数库的https://rosettacode.org/wiki/Runge-Kutta_method。或者甚至是手卷。

在我的例子中，我从(1, 1)的A，(2, 1)的B和(2, 2)的C开始。然后以0.01大小的步长将A拉到原点。可以更改为您想要的任何内容。

#! /usr/bin/env python
import numpy

# Runga Kutta method.
def RK4(f):
    return lambda t, y, dt: (
            lambda dy1: (
            lambda dy2: (
            lambda dy3: (
            lambda dy4: (dy1 + 2*dy2 + 2*dy3 + dy4)/6
            )( dt * f( t + dt  , y + dy3   ) )
            )( dt * f( t + dt/2, y + dy2/2 ) )
            )( dt * f( t + dt/2, y + dy1/2 ) )
            )( dt * f( t       , y         ) )


# da is a function giving velocity of a at a time t.
# The other three are the positions of the three points.
def calculate_dy (da, A0, B0, C0):
    l_ab = float(numpy.linalg.norm(A0 - B0))
    l_bc = float(numpy.linalg.norm(B0 - C0))

    # t is time, y = [A, B, C]
    def update (t, y):
        (A, B, C) = y
        dA = da(t)

        ab_unit = (A - B) / float(numpy.linalg.norm(A-B))
        # The first term is the force.  The second is a correction to
        # cause roundoff errors in length to be selfcorrecting.
        dB = (dA.dot(ab_unit) + float(numpy.linalg.norm(A-B))/l_ab - l_ab) * ab_unit

        bc_unit = (B - C) / float(numpy.linalg.norm(B-C))
        # The first term is the force.  The second is a correction to
        # cause roundoff errors in length to be selfcorrecting.
        dC = (dB.dot(bc_unit) + float(numpy.linalg.norm(B-C))/l_bc - l_bc) * bc_unit

        return numpy.array([dA, dB, dC])

    return RK4(update)

A0 = numpy.array([1.0, 1.0])
B0 = numpy.array([2.0, 1.0])
C0 = numpy.array([2.0, 2.0])
dy = calculate_dy(lambda t: numpy.array([-1.0, -1.0]), A0, B0, C0)

t, y, dt = 0., numpy.array([A0, B0, C0]), .02
while t <= 1.01:
    print( (t, y) )
    t, y = t + dt, y + dy( t, y, dt )

Answer 2

通过我看到的答案，我意识到解决方案并不是真的很简单，必须通过反向运动学算法来解决。

This site就是一个例子，它只是一个开始，尽管它仍然不能解决所有问题，因为点C是固定的，并且在卡车的情况下它应该移动。

Answer 3

基于这个Analytic Two-Bone IK in 2D article，我做了一个fully functional model in Geogebra，它的核心由两个简单的数学方程组成。