如何求解耦合的一阶非线性微分方程？

Question

我有一个由2个方程和已知初始条件组成的问题。这些方程式是：

dx/dt = (-a1*sin(y) + a2 + a3*sin(y-x)) / ((dy/dt)*a4*cos(y-x))

dy/dt = (a1*sin(x) -a5 + a6*x + a7*sin(y-x)) / ((dx/dt)*a8*cos(y-x))

其中a1到a8是变量。

我试图在MATLAB上绘制x与t和y与t的关系图，但我不确定如何用数值或解析的方法来解决这个问题。任何帮助都将不胜感激！！

Answer 1

问题的ODE不能写成dy/dt=f(t，y)或M(t，y)dy/dt=f(t，y).这意味着它是一个微分代数方程，必须以以下形式进行数值求解：

y，dy__/dt)=0 f(t，

)

在matlab中，这可以通过命令ode15i来完成。

因此，第一步是以适当的方式编写函数，在这种情况下，一个选项是：

function f = cp_ode(t,y,yp,a)
    f1 = (-a(1)*sin(y(2))+a(2)+a(3)*sin(y(2)-y(1)))/yp(2)*a(4)*cos(y(2)-y(1)) - yp(1);
    f2 = (a(1)*sin(y(1))-a(5)+a(6)*y(1)+a(7)*sin(y(2)-y(1)))/yp(1)*a(8)*cos(y(2)-y(1)) - yp(2);
    f = [f1 ; f2] ; 
end

然后，可以设置初始条件和积分时间跨度，以便调用ode15i

tspan = [0 10];
y0 = [1; 1] ; 
yp0 = fsolve(@(yp)cp_ode(0,y0,yp,a),<yp0_guess>);
a = ones(1,8) ;
[t,y] = ode15i(@(t,y,yp)cp_ode(t,y,yp,a), tspan, y0, yp0);

必须注意，初始条件t，y__，yp应满足方程f(t，y__，yp__)=0。这里使用fsolve来满足这个条件。

匿名函数的用途是使用参数作为输入来定义函数，然后执行在主代码中定义了参数的ODE求解器。