is(unit_step(x)*unit_step(x) = unit_step(x))计算为false

Question

我们给学生一些练习，他们的解决方案是用maxima评估的。

答案涉及到单位步长函数。maxima中的计算似乎进行得很顺利，除了在unit_step函数上似乎缺少一些代数规则。

例如，is(unit_step(x)*unit_step(x) = unit_step(x))的计算结果为false。学生以这样的形式给出答案的可能性很小，但我们仍然不希望学生给出好答案的可能性被评估为不正确。

下面是我们尝试使用涉及unit_step函数(我们定义为u)的maxima进行评估的答案的屏幕截图：

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Answer 1

Maxima目前对unit_step了解不多(大约是Maxima 5.41)。这只是一个缺点，没有任何理由，除了没有人抽出时间来做这项工作。也就是说，取得一些进展并不太难。

乘法的简化程序将相同的项合并为幂：

(%i3) unit_step(x)*unit_step(x);
                                   2
(%o3)                     unit_step (x)

因此，让我们定义一个简化规则，它降低了unit_step的正幂。(我本来想说的是正整数幂，但稍加思考就会发现，非整数正幂也同样如此。)

(%i4) matchdeclare (aa, lambda ([e], e > 0)) $
(%i5) matchdeclare (xx, all) $
(%i6) tellsimpafter (unit_step(xx)^aa, unit_step(xx));
(%o6)                  [^rule1, simpexpt]

让我们试一试。

(%i7) unit_step(x)*unit_step(x);
(%o7)                     unit_step(x)
(%i8) is (unit_step(x)*unit_step(x) = unit_step(x));
(%o8)                         true
(%i9) unit_step(t - 5)^(1/4);
(%o9)                   unit_step(t - 5)
(%i10) assume (m > 0);
(%o10)                       [m > 0]
(%i11) unit_step(2*u + 1)^m;
(%o11)                 unit_step(2 u + 1)

到现在为止还好。当然，这只是一个身份，还有其他身份可能是有用的。由于此规则不是内置的，因此必须加载该定义才能使用它；如果您打算让其他人使用它，这将是一件麻烦的事情。

根据记录，我在Maxima源代码中找到的对集成的惟一简化是在share/contrib/ unit_step /abs_Integrate.mac中，其中包含一个应用identity unit_step(a)*unit_step(b) --> unit_step(min(a, b))的函数unit_step_mult_simp。