将大量浮点数相加

Question

我正在学习数值分析，我不明白这一点:当添加大量浮点数时，最好的方法是从最低到最高将数字相加。为什么这比从高到低的数字相加更精确？

Answer 1

假设您使用的是一个精度为3位的十进制浮点系统。如果你按这个顺序加上的正和数3+3+4+40+70+300+800+1000，你会得到部分和：，6 10 50 120 420 1220 2220，最后的结果是确切的和：，在任何一步都不存在任何近似。

如果反过来将它们相加，则会得到部分和：1800 2100 2170 2210 2210 2210 2210

浮点表示在0附近有更多的精度。一般来说，目标是使每个部分和的结果尽可能接近于零，以便每个部分和尽可能准确。当对相同符号的数字求和时，这意味着首先将较小的数字相加。

Answer 2

当你把一个小数字和一个大数字相加时，你可能会失去很多精度。作为一个简单的例子，尝试使用(32位)浮点数将1000万个1和20000000相加。如果你先把所有的加起来(得到1000万)，然后再加上2000万，你就得到了正确的答案，3000万。但是如果你从2000万开始，然后加上1000万，你最终会得到2000万。这是因为，在32位浮点运算中，2000万+1等于2000万。