python中的最小二乘法？

Question

我有这些值：

T_values = (222, 284, 308.5, 333, 358, 411, 477, 518, 880, 1080, 1259) (x values)

C/(3Nk)_values = (0.1282, 0.2308, 0.2650, 0.3120 , 0.3547, 0.4530, 0.5556, 0.6154, 0.8932, 0.9103, 0.9316) (y values)

我知道他们遵循这样的模式：

C/(3Nk)=(h*w/(k*T))**2*(exp(h*w/(k*T)))/(exp(h*w/(k*T)-1))**2

我也知道k=1.38*10**(-23)和h=6.626*10**(-34)。我必须找到最能描述测量数据的w。我想用python中的最小二乘法来解决这个问题，但是我真的不太明白它是如何工作的。有谁可以帮我？

Answer 1

此答案提供了使用Python为一般指数模式确定拟合参数的演练。另请参阅linearization techniques和使用lmfit库的相关文章。

数据清理

首先，让我们以numpy数组的形式输入和组织采样数据，这将有助于稍后的计算和清晰度。

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.optimize as opt
import numpy as np


#% matplotlib inline

# DATA ------------------------------------------------------------------------
T_values = np.array([222, 284, 308.5, 333, 358, 411, 477, 518, 880, 1080, 1259])
C_values = np.array([0.1282, 0.2308, 0.2650, 0.3120 , 0.3547, 0.4530, 0.5556, 0.6154, 0.8932, 0.9103, 0.9316])

x_samp = T_values
y_samp = C_values    

在scipy和curve fitting中有许多numpy函数，每个函数的用法都不同，例如scipy.optimize.leastsq和scipy.optimize.least_squares。为简单起见，我们将使用scipy.optimize.curve_fit，但如果没有选择合理的起始参数，则很难找到优化的回归曲线。稍后将演示一种选择启动参数的简单技术。

回顾

首先，尽管OP提供了预期的拟合方程，但我们将通过查看指数函数的一般方程来解决使用Python进行曲线拟合的问题：

​

​

现在我们构建这个通用函数，它将被使用几次：

# GENERAL EQUATION ------------------------------------------------------------
def func(x, A, c, d):
    return A*np.exp(c*x) + d

趋势

负振幅:一个小的膝部给一个小的amplitude

• shape:一个小的膝部通过展平curve

• position:的“A”来控制形状d设置一个负值A将曲线反转到水平轴上；负值c将曲线反转到垂直轴上

后一种趋势如下所示，与具有不同参数的线(红线)相比，突出显示了控件(黑线)：

​

​

​

​

选择初始参数

使用后一种趋势，让我们接下来查看数据，并尝试通过调整这些参数来模拟曲线。为了演示，我们根据我们的数据绘制了几个试验方程：

# SURVEY ----------------------------------------------------------------------
# Plotting Sampling Data
plt.plot(x_samp, y_samp, "ko", label="Data")

x_lin = np.linspace(0, x_samp.max(), 50)                   # a number line, 50 evenly spaced digits between 0 and max

# Trials
A, c, d = -1, -1e-2, 1
y_trial1 = func(x_lin,  A,     c, d)
y_trial2 = func(x_lin, -1, -1e-3, 1)
y_trial3 = func(x_lin, -1, -3e-3, 1)

plt.plot(x_lin, y_trial1, "--", label="Trial 1")
plt.plot(x_lin, y_trial2, "--", label="Trial 2")
plt.plot(x_lin, y_trial3, "--", label="Trial 3")
plt.legend()

​

​

通过简单的试错，我们可以更好地近似曲线的形状、振幅、位置和方向。例如，我们知道前两个参数(A和c)必须为负。我们对c的数量级也有一个合理的猜测。

计算估计参数

现在，我们将使用最佳试验的参数进行初始猜测：

# REGRESSION ------------------------------------------------------------------
p0 = [-1, -3e-3, 1]                                        # guessed params
w, _ = opt.curve_fit(func, x_samp, y_samp, p0=p0)     
print("Estimated Parameters", w)  

# Model
y_model = func(x_lin, *w)

# PLOT ------------------------------------------------------------------------
# Visualize data and fitted curves
plt.plot(x_samp, y_samp, "ko", label="Data")
plt.plot(x_lin, y_model, "k--", label="Fit")
plt.title("Least squares regression")
plt.legend(loc="upper left")

# Estimated Parameters [-1.66301087 -0.0026884   1.00995394]

​

​

这是怎么回事？

curve_fit是scipy提供的众多optimization functions之一。在给定初始值的情况下，对得到的估计参数进行迭代改进，以使得到的曲线最小化残差，或拟合线和采样数据之间的差异。更好的猜测可以减少迭代次数并加快结果。有了这些拟合曲线的估计参数，现在就可以计算特定方程的特定系数(留给OP的最后一个练习)。

Answer 2

您想要使用scipy

import scipy.optimize.curve_fit

def my_model(T,w):
    return (hw/(kT))**2*(exp(hw/(kT)))/(exp(hw/(kT)-1))**2
w= 0 #initial guess
popt, pcov = curve_fit(my_model, T_values, C_values,p0=[w])