准小波信号重构

Question

我正在尝试使用pywavelet库来理解小波的概念。我的第一步是看看如何使用小波系数重建给定的输入信号。下面是我的代码：

db1 = pywt.Wavelet('db1')
cA6, cD6,cD5, cD4, cD3, cD2, cD1=pywt.wavedec(data, db1, level=6)
cA6cD_approx = pywt.upcoef('a',cA6,'db1',take=n, level=6) +   pywt.upcoef('d',cD1,'db1',take=n, level=6)\
 +pywt.upcoef('d',cD2,'db1',take=n, level=6) +  pywt.upcoef('d',cD3,'db1',take=n, level=6) + \
  pywt.upcoef('d',cD4,'db1',take=n, level=6) + pywt.upcoef('d',cD5,'db1',take=n, level=6) + \
  pywt.upcoef('d',cD6,'db1',take=n, level=6)

plt.figure(figsize=(28,10))
p1, =plt.plot(t, cA6cD_approx,'r')
p2, =plt.plot(t, data, 'b')
plt.xlabel('Day')
plt.ylabel('Number of units sold')
plt.legend([p2,p1], ["original signal", "cA6+cD* reconstructed"])
plt.show()

这产生了以下图：

​

现在，当我使用waverec()方法时，信号重建相当准确。如下图所示：

​

有人能解释一下这两种重建方法的区别吗？

Answer 1

它们都是逆离散小波变换"upcoef"是使用系数的直接重建，而"waverec"是多级1D离散小波逆变换，做几乎相同的事情，但以一种允许您排列系数的方式进行，开发时效率更高。

Answer 2

我做了一点改动，特别是"level“的设置。从图中，您将看到两种重建方法将产生相同的结果。

import numpy as np
import pywt
import matplotlib.pyplot as plt

data = np.loadtxt('Mysample_test.txt')
n = len(data)
wl = pywt.Wavelet("db1")
coeff_all = pywt.wavedec(data, wl, level=6)
cA6, cD6,cD5, cD4, cD3, cD2, cD1= coeff_all
omp0 = pywt.upcoef('a',cA6,wl,level=6)[:n]
omp1 = pywt.upcoef('d',cD1,wl,level=1)[:n]
omp2 = pywt.upcoef('d',cD2,wl,level=2)[:n]
omp3 = pywt.upcoef('d',cD3,wl,level=3)[:n]
omp4 = pywt.upcoef('d',cD4,wl,level=4)[:n]
omp5 = pywt.upcoef('d',cD5,wl,level=5)[:n]
omp6 = pywt.upcoef('d',cD6,wl,level=6)[:n]

#cA6cD_approx = omp0 + omp1 + omp2 + omp3 + omp4+ omp5 + omp6
#plt.figure(figsize=(18,9))
recon = pywt.waverec(coeff_all, wavelet= wl)
p1, =plt.plot(omp0 + omp6 + omp5 + omp4 + omp3 + omp2 + omp1,'r')
p2, =plt.plot(data, 'b')
p3, =plt.plot(recon, 'y')

plt.xlabel('Day')
plt.ylabel('Number of units sold')
plt.legend([p3,p2,p1], ["waverec reconstructed","original signal", "cA6+cD* reconstructed"])
plt.show()

Answer 3

wavedec函数执行树形分解，这意味着先进行滤波，然后进行下采样(对于二进方案，因子为2)。

两个函数waverec和upcoef都可以导致重建。

第一个是waverec，它执行一个直接的树重建，这与wavedec所做的事情是对称的，这意味着在进行上采样之后进行滤波。在每个重建级别(在您的情况下为6个)，还将执行求和，以生成具有更多细节的信号，用于下一个重建级别。

第二个函数upcoef允许执行给定子尺度的独立重建，而无需考虑其他子尺度中包含的其余细节。这通常在重建信号时通过零填充来执行。换句话说，upcoef可以看作是一个插值运算符。

在您的示例中，您使用upcoef将所有小波子尺度从其抽取的x网格插值到原始x网格。然后，您执行了所有插值信号的求和(仅包含已定义的有限数量的细节)。因为Daubechies的小波是正交的，所以它们可以实现完美的重建，这样你就可以在重建后恢复原始信号。

简而言之：

waverec        => direct reconstruction                        => original signal
n times upcoef => interpolation followed by a global summation => original signal

仅当您想要可视化同一非抽取x网格帧上的所有细节时，子比例插值才有用。这样的插值不会带来更多的信息，因为任何子尺度中包含的信息量及其插值版本都是相同的。