如何找出只有综合症的里德-所罗门中可能存在的错误？

Question

我正在做我正在选修的一门课的作业。

如果可能的话，我需要给出两个给定症状的码字错误的位置和大小。如果我能想出如何为一个人做这件事的方法，我就可以做剩下的事情，但我对第一个方法感到迷惑。

这就是症状: 2，2，0，1

我将使用里德-所罗门码，q= 11，本原元素为2。

为了解决这个问题，我创建了下面的H矩阵：

1  1  1  1  1  1   1  1   1  1
1  2  4  8  5  10  9  7   3  6
1  4  5  9  3  2   8  10  7  6
1  8  9  6  4  10  3  2   5  7

但由于我所有的病都是综合症，我不知道该怎么做。我确信我在这里漏掉了一些东西，希望有人能给我指出。

我在网上找到了Berlekamp，Peterson和Euclidean的方法，但我们没有讨论过这些方法，我不明白他们是如何工作的，因为网上的解释很有限。我们使用了错误定位多项式方法，但我不知道如何将其应用于此场景，因为要达到具有4个未知数的4个方程的点，您需要知道输入码字。

谢谢。

Answer 1

如果有4个校验子，没有擦除(已知错误位置)，则只能纠正2个错误。有两个方程，其中有两个未知数。参考wiki文章中的示例：

https://en.wikipedia.org/wiki/Reed%E2%80%93Solomon_error_correction#Error_locator_polynomial

在您的例子中，症状下标是0到3，而不是wiki的1到4。

S0 Λ2 + S1 Λ1 = -S2 (= 11 - S2)
S1 Λ2 + S2 Λ1 = -S3 (= 11 - S3)

求2乘2矩阵很简单，因此不需要使用Berlekamp Massey或扩展的欧几里德算法。

如果所有的错误位置都是已知的(擦除)，那么代码只需要求解错误值，使用E表示错误值，使用L表示定位器，使用^表示指数：

 1^L1 E1 +  1^L2 E2 +  1^L3 E3 +  1^L4 E4 = S0
 2^L1 E1 +  2^L2 E2 +  2^L3 E3 +  2^L4 E4 = S1
 4^L1 E1 +  4^L2 E2 +  4^L3 E3 +  4^L4 E4 = S2
 8^L1 E1 +  8^L2 E2 +  8^L3 E3 +  8^L4 E4 = S3