精确的双精度，通过正确的舍入

Question

虽然我的问题听起来微不足道，但实际上并非如此。希望你能帮助我。

我想在我的.NET (C#)项目中实现区间算术。这意味着每个数字都由一个下界和一个上界定义。这对解决像这样的问题很有帮助

1 / 3 = 0.333333333333333 (15 significant digits)

因为这样你就会有

1 / 3 = [ 0.33333333333333 , 0.333333333333334 ] (14 significant digits each)

，所以我现在确信正确的答案就在这两个数字之间。如果没有区间表示，我就已经有了舍入误差(即0.0000000000000003)。

向下舍入结果将给出区间的下限，向上舍入结果将给出区间的上限。

.NET具有Math.Round(double,int)方法，该方法将double舍入到int个小数位。看起来不错，但不能强制向上/向下舍入。Math.Round(1.0/3.0,14)会向下舍入，但也需要向上舍入到0.33...34不能像这样实现。

但是你可能会说有Math.Ceil和Math.Floor！好的，这些方法舍入到下一个较低或较高的整数。因此，如果我想四舍五入到小数点后14位，我首先需要修改我的结果：

1 / 3 = 0.333333333333333 -> *E14 -> 33333333333333.3

因此，现在我可以调用Math.Ceil和Math.Floor，并在重新调整后获得这两个四舍五入的结果

33333333333333 & 33333333333334 -> /E14 -> 0.33333333333333 & 0.33333333333334

看起来不错，但是:假设我的数字接近double.MaxValue。我不能只是在double.MaxValue附近*E14一个值，因为这会给我一个OverflowException。因此，这也不是解决方案。

最重要的是:当尝试对0.9999999999999999999999999 (more than 15 digits)进行舍入时，所有这些都会失败，因为在我可以开始向下舍入之前，内部表示已经舍入为1。

我可以尝试以某种方式解析包含双精度值的字符串，但这不会有帮助，因为(1/3 * 3).ToString()将打印1而不是0.99...9。

Decimal也不能工作，因为我不想要那么深的精度，14位就足够了；但我仍然想要那个双倍范围！

在存在多个区间算术实现的C++中，这个问题可以通过动态地告诉处理器将其循环模式切换为例如"always down“或"always up”来解决。我在.NET中找不到任何方法来做这件事。

那么，你有什么想法吗？提前感谢！

Answer 1

假设nextDown(x)是一个返回小于x的最大双精度数的函数，nextUp(x)是一个返回大于x的最小双精度数的函数。有关实现思想，请参阅Get next smallest Double number。

其中，您将向下舍入下限结果，而不是使用舍入到最近的结果的nextDown。如果要向上舍入一个上界，请使用舍入到最近的结果的nextUp。

此方法可确保间隔继续包含精确的实数结果。它引入了额外的舍入误差-在某些情况下，下限将比它应该的值小一个ULP，和/或上限将比它大一个ULP。但是，这是对间隔的最小加宽，比在十进制或通过抑制低有效位得到的加宽要小得多。

Answer 2

这可能更像是一条长长的评论，而不是一个真正的答案。

这段代码通过截断7个最低有效位返回一个" Interval“(我只使用Tuple<,>，您可以使用自己的Interval类型)：

static Tuple<double, double> GetMinMaxIntervalBasedOnBinaryNumbersThatAreRoundOnLastSevenBits(double number)
{
  if (double.IsInfinity(number) || double.IsNaN(number))
    return Tuple.Create(number, number); // maybe treat this case differently

  var i = BitConverter.DoubleToInt64Bits(number);

  const int numberOfBitsToClear = 7; // your seven, can change this value, must be below 52
  const long precision = 1L << numberOfBitsToClear;
  const long bitMask = ~(precision - 1L);

  //truncate i
  i &= bitMask;

  return Tuple.Create(BitConverter.Int64BitsToDouble(i), BitConverter.Int64BitsToDouble(i + precision));
}

免责声明：我不确定这对任何目的是否有用。特别是不确定它对于区间算术是否有用。

使用此代码，GetMinMaxIntervalBasedOnBinaryNumbersThatAreRoundOnLastSevenBits(1.0 / 3.0)将返回元组(0.333333333333329, 0.333333333333336)。

这段代码，就像您在问题中询问的代码一样，有一个明显的“问题”：如果原始值接近(甚至等于)我们使用的一个“四舍五入”数字，那么返回的区间是“倾斜的”，原始数字接近区间的一个末端。例如，在输入42.0 (已经是圆形)的情况下，您可以得到元组(42, 42.0000000000009)。

这段代码的一个好处是我希望它非常快。