为什么在C语言中cexp(+infinity+I*infinity)=+/-infinity+I*NaN？

Question

如果我们看一下C语言的委员会草案：n1570，特别是关于复数数学函数行为的Annex G，我们可以看到复数指数在无穷远具有以下行为：

cexp(+infinity+I*infinity)=+/-infinity+I*NaN
(where the sign of the real part of the result is unspecified).

我的问题是:为什么？

从数学的角度来看，如果我们以相同的方式接近实部和虚部的无穷大，则极限是一个复数无穷大(例如，参见Wolfram Alpha )，它对应于无穷大的模和未定义的变元。

此外，如果我们观察cexp函数的行为，它的实部和虚部相当类似(请参阅Wolfram Alpha上的3D图)。

所以，我会期待：

cexp(+infinity+I*infinity)=+/-infinity+/-I*infinity

而不是：

cexp(+infinity+I*infinity)=+/-infinity+I*NaN

我知道这是有很好的理由的，但我不明白。有人能给我解释一下背后的逻辑吗？

编辑:以下是链接的摘要：

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Answer 1

njuffa，http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/C99RationaleV5.10.pdf链接的文档中确实给出了动机：

7.3.9.4 cproj函数

在复杂数学中通常使用两种拓扑:具有无限连续体的复平面和具有单一无穷大的Riemann球面。复平面更适合于超越函数，Riemann球面更适合于代数函数。具有多个无穷大的复杂类型为复杂平面提供了一个有用的(尽管不完美的)模型。cproj函数通过将所有无穷大映射到一个来帮助对Riemann球体建模，并且应该在任何操作之前使用，特别是比较，这可能会对任何其他无穷大产生虚假结果。

请注意，具有一个无限部分和一个NaN部分的复数值被视为无穷大，而不是NaN，因为如果一个部分是无限的，则该复数值是无限的，而与另一部分的值无关。出于同样的原因，如果cabs的参数包含无限部分和NaN部分，则返回无穷大。

在G.5.1中也有类似的说法：

...为了支持one-infinity模型，C99将至少有一个无穷大部分的任何复数值视为复数无穷大(即使另一部分是NaN)，并保证操作和函数遵循无穷大的基本属性，并提供cproj函数将所有无穷大映射到规范无穷大。..。

相关的搜索词是" Riemann“，如Riemann sphere中的”Riemann“，这是具有单个无穷大的扩展复平面的数学模型，在Mathematica / Wolfram Alpha中使用，但在数学中并不通用。

Answer 2

NaN的一个原因是没有表示这个无穷大值所采用的“方向”。用真实的数字，lim a->inf : exp(a) -> + infinity。定义明确的方向给出了原因的直观含义：

1/(+0) = +inf、1.0 / (-0.0) = -inf和：

1/(+inf) = +0，1/(-inf) = -0

将其扩展到复杂平面：cexp([-]inf + b.I) = [-]inf.{cos(b) + I.sin(b)}

即使结果具有无限大小，仍然存在方向的概念，例如，if b = - PI/2 -> cexp(+inf + b.I) = +inf.(-I)

如果为b = [-]inf，则接近无穷大的方向是不确定的。方向的数量是无限的，cos(b)和sin(b)的值是未定义的。毫不奇怪，如果参数是无穷大，则实值cos[f|l]和sin[f|l]函数将返回NaN。

恐怕这不是一个非常正式的回答--只是对这个想法的一种“感觉”。我的理解是，这种行为还有其他很好的原因，比如在复杂分析中使用分支切割。