利用频域2D循环卷积进行时域乘法

Question

我正在尝试使用频域中的2D循环卷积进行时域乘法。实际上，我知道它在一维情况下是如何工作的。像这样：

x = [1 2 3 4 5];

y = [4 5 6 7 8];

xy = 1/5*ifft( cconv(fft(x), fft(y), 5));

xy0 = x.*y;

xy和xy0是一样的，这就是我想要的。然而，对于2D情况，在matlab中没有定义cconv，我不知道如何在频域中使用卷积在相同大小的2个矩阵之间执行乘法。

假设我们有以下矩阵：

x = [3 5 4;
    7 6 1;
    -1 2 0];

y = [2 7 1;
    2 -3 2;
    5 6 9];

确保命令1/9*ifft2( conv2(fft2(x)，fft2(y)，' same '))不会给出与x.*y相同的结果

大家能帮我解决这个问题吗？

Answer 1

在命令中，卷积应该是循环卷积，与1D示例中的cconv相同。参见https://www.mathworks.com/matlabcentral/answers/59333-convolution-in-frequency-domain-not-convolution-in-time-domain和Convolution of two fft function。

下面是我使用Numpy和Scipy在Python中工作的一个示例。我必须在IFFT之前将卷积的结果在频域中平移( +1 +1)，以匹配乘法结果。我假设一些关于scipy pads从适当位置移动结果的方式，快速检查空间域结果的FFT，显示正确的FFT卷积输出应该让你知道如何在matlab中或使用不同的填充进行移位。

在scipy.signal中使用'wrap‘填充等同于循环卷积。

import numpy as np
from scipy import signal

###################################################
# Check Multiplication in Spatial == Conv in Freq #
###################################################

np.random.seed(1234)
fr = np.random.normal(0.1,1.0,(3,3))
imgs = np.random.normal(0,1.0,(3,3))

spatialMult = fr * imgs

filtFFT = np.fft.fft2(fr)
imgsFFT = np.fft.fft2(imgs)

ac = signal.convolve2d(imgsFFT.real,filtFFT.real,'same','wrap')
ad = signal.convolve2d(imgsFFT.real,filtFFT.imag,'same','wrap')
bc = signal.convolve2d(imgsFFT.imag,filtFFT.real,'same','wrap')
bd = signal.convolve2d(imgsFFT.imag,filtFFT.imag,'same','wrap')

r_conv = (ac - bd)
i_conv = (ad + bc)

res_conv = r_conv + 1j*i_conv
res_conv = res_conv / 9
# Positions are incorrect for some reason
# Need a +1 +1 shift to align
res_conv = np.roll(np.roll(res_conv,1,0),-2,1)
res_ifft = np.fft.ifft2(res_conv)

spat_fft = np.fft.fft2(spatialMult)
print(spat_fft)
print(res_conv)
print()
print(res_ifft.real)
print(spatialMult)

如果你想立即得到正确的输出，你可以使用numpy自己填充：

ir = imgsFFT.real
im = imgsFFT.imag
f_r = filtFFT.real
f_i = filtFFT.imag

ir = np.pad(ir,((2,0),(2,0)),'wrap')
im = np.pad(im,((2,0),(2,0)),'wrap')

ac = signal.convolve2d(ir,f_r,'valid')
ad = signal.convolve2d(ir,f_i,'valid')
bc = signal.convolve2d(im,f_r,'valid')
bd = signal.convolve2d(im,f_i,'valid')

r_conv = (ac - bd)
i_conv = (ad + bc)

res_conv = r_conv + 1j*i_conv
res_conv = res_conv / n
res_ifft = np.fft.ifft2(res_conv)

spat_fft = np.fft.fft2(spatialMult)
print(spat_fft)
print(res_conv)
print()
print(res_ifft.real)
print(spatialMult)