random() * random()分布是什么样子的？

Question

给定一个函数random()，它返回均匀分布在0和1之间的浮点值。

random() * random()函数的分布类型是什么

Answer 1

# test.py
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 10**6
plt.hist(np.random.uniform(size=N) * np.random.uniform(size=N), bins=50, normed=True)
plt.show()

运行python test.py会产生以下结果：

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Answer 2

类型是Product Distribution，它不再是统一的。

Answer 3

变换为y= x*x，x在0 <=x <= 1的范围内具有概率分布函数fx(x) =1，x的累积分布函数为Fx(x) =x。

Y的CDF是Fy(y <= Y) = Fx(sqrt(Y)) = sqrt(Y)，0 <= Y <= 1。

现在进行微分，得到相同范围上的fy(y) = 1/(2*sqrt(y))。

编辑：

上面的解决方案假设"random() * random()“对每次绘制都使用相同的值。相反，如果您希望相乘后的值彼此独立，则需要更多的数学运算，但仍然很容易处理。

现在让我们

0 <= x1 <= 1上的y1 = x1*x2，其中fx1(x1) =1，x2也是如此。

假设x1和x2之间独立，则联合PDF是

fx1x2(x1，x2) = fx1(x1)*fx2(x2)。

引入一个额外的变量y2来处理2变量联合PDF的转换。为了获得更好的计算，假设y2 = x2。

所以我们的系统是

g1(x1，x2) = x1*x2

g2(x1，x2) = x2

与更简单的情况一样，我们现在需要通过求解y1和y2来反转函数：

h2(y1，y2) = x2 (= y2)

h1(y1，y2) = y1/x2 = y1/y2

我们需要雅可比矩阵

(pg1/px1)(pg2/px2) - (pg1/px2)(pg2/x1)

其中"p“是偏导数。

所以在我们的例子中

J= ( x2 )(1) - (x1)(0) =x2。

转换公式(来自任何基于微积分的入门概率文本)是

fy1y2(y1，y2) = fx1x2(x1，x2)/J

在我们的例子中，它简化为

范围0 <= y1/y2 <= 1和0 <= y2 <= 1上的1/y2。

最后，为了得到fy1( y1 )，我们对不需要的变量y2上的联合分布进行积分，注意保持在正确的范围y1/y2 <= 1或y1 <= y2中，因为y2 >= 0。

fy1( y1 ) =在范围0 <= y1 <= 1上从y1积分到(1/y2)dy2 = -ln(y1)中的1。

请注意，在这两种情况下，由于分数(0 <= x <= 1)乘以分数是较小的分数，因此乘积的分布是有利于较小值的加权。