二阶方法比一阶方法差吗？

Question

我在思考数值分析中的一个基本问题。

众所周知，在离散常微分方程时，二阶方法比一阶方法更精确，因为二阶方法的截断误差为O(dx^2)，一阶方法的截断误差为O(dx^2)。当0< dx < 1时，这是真的。

如果dx > 1怎么办？例如，域是0到10000，网格大小是1000，那么dx = 10。在这种情况下，由于dx^2 = 100和dx = 10，二阶方法是否不像一阶方法那样精确？我们在处理大规模问题时会遇到这种情况，比如气候建模(云的大小可能是几公里)。

Answer 1

二阶方法并不比一阶方法更精确，因为对于dx的某些值，dx^2 < dx。这是关于小dx的渐近收敛速度的陈述。

另外，直接比较dx^2和dx是没有意义的，因为dx不是一个无单位的量，它是一个长度。所以你试图将一个面积与一个长度进行比较，这是没有意义的。

在big-O notation中，如果一个量收敛于O( dx^2 )，那么这通常意味着误差的形式是e= a2 dx^2+ a3 dx^3 + ...前导系数a2的单位是X/米^2，其中X是你的误差所在的单位，也许你可以用其他的长度代替米。同样，对于一阶解，误差形式为b1 dx + b2 dx^2 + ...，其中b1以X/米为单位。

因此，如果您决定可以忽略非前导项(对于较大的dx值，您可能不能这样做)，则不是在dx^2和dx之间进行比较，而是在a2 dx^2和b1 dx之间进行比较。显然，这两个误差项之间存在交叉，但不是在dx=1，而是在dx = b1/a2。如果你的离散化如此粗糙，你可能不会处于可以忽略高阶项的渐近状态，而且你的解决方案可能是非常不准确的。