python中的有限差分近似

Question

我试图计算x= 0处函数的导数，但我尝试过的所有函数都得到了奇怪的结果。例如，当f(X)=x**2时，我得到所有点的导数都是2。我的有限差分系数是正确的，它对x的二阶导数是精确的。

from numpy import *
from matplotlib.pyplot import *

def f1(x):
    return x**2

n = 100 # grid points

x = zeros(n+1,dtype=float) # array to store values of x
step = 0.02/float(n) # step size
f = zeros(n+1,dtype=float) # array to store values of f
df = zeros(n+1,dtype=float) # array to store values of calulated derivative

for i in range(0,n+1): # adds values to arrays for x and f(x)
    x[i] = -0.01 + float(i)*step
    f[i] = f1(x[i])

# have to calculate end points seperately using one sided form

df[0] = (f[2]-2*f[1]+f[0])/step**2
df[1] = (f[3]-2*f[2]+f[1])/step**2
df[n-1] = (f[n-1]-2*f[n-2]+f[n-3])/step**2
df[n] = (f[n]-2*f[n-1]+f[n-2])/step**2

for i in range(2,n-1): # add values to array for derivative
    df[i] = (f[i+1]-2*f[i]+f[i-1])/step**2

print df # returns an array full of 2...

Answer 1

x^2的二阶导数是常数2，使用中心差商作为二阶导数，从分母中的平方也可以看出。你的结果是绝对正确的，你的代码完全按照你告诉它的去做。

要获得具有对称差商的一阶导数，请使用

df[i] = ( f[i+1] - f[i-1] ) / ( 2*step )

Answer 2

对于f1 (X)=x^2的情况，可以得到函数f1在点x的一阶导数：

def f1(x):

    return (x**2)

def derivative (f, x, step=0.0000000000001):

    return ((f(x+step)-f(x))/step)

希望这能有所帮助