如何使用Z3RCF-Py证明当x=1时diff(x ^2，x) =2？

Question

我使用了以下代码：

eps = MkInfinitesimal()
print(( (1 + eps)**2- 1**2)/eps < 2.00000000001)
print(( (1 + eps)**2- 1**2)/eps > 2)

输出结果为：

True
True

其他例子:证明当x= pi时diff(x^2，x) = 2*pi，当x=e时diff(x^2，x) = 2*e

代码：

eps1 = MkInfinitesimal()
eps2 = MkInfinitesimal() # eps2 is infinitely smaller thant eps1
pi = Pi()
e = E()
print(( (pi + eps2)**2- pi**2)/eps2 < 2*pi + eps1)
print(( (pi + eps2)**2- pi**2)/eps2 > 2*pi)
print(( (e + eps2)**2- e**2)/eps2 < 2*e + eps1)
print(( (e + eps2)**2- e**2)/eps2 > 2*e)

输出：

True
True
True
True

其他例子:证明当x=e或x= pi时diff(x^3，x) = 3*x^2。

代码：

eps1 = MkInfinitesimal()
eps2 = MkInfinitesimal() # eps2 is infinitely smaller thant eps1
pi = Pi()
e = E()
print(( (pi + eps2)**3- pi**3)/eps2 < 3*pi**2 + eps1)
print(( (pi + eps2)**3- pi**3)/eps2 > 3*pi**2)
print(( (e + eps2)**3- e**3)/eps2 < 3*e**2 + eps1)
print(( (e + eps2)**3- e**3)/eps2 > 3*e**2)

输出：

True
True
True
True

其他示例：

代码：

[x] = MkRoots([-1, -1, 0, 0, 0, 1])
[y] = MkRoots([-197, 3131, -31*x**2, 0, 0, 0, 0, x])
[z] = MkRoots([-735*x*y, 7*y**2, -1231*x**3, 0, 0, y])
print(x.decimal(10))
print(y.decimal(10))
print(z.decimal(10))
eps1 = MkInfinitesimal()
eps2 = MkInfinitesimal() # eps2 is infinitely smaller thant eps1
print(( (x + eps2)**2- x**2)/eps2 < 2*x + eps1)
print(( (x + eps2)**2- x**2)/eps2 > 2*x)
print(( (y + eps2)**2- y**2)/eps2 < 2*y + eps1)
print(( (y + eps2)**2- y**2)/eps2 > 2*y)
print(( (z + eps2)**2- z**2)/eps2 < 2*z + eps1)
print(( (z + eps2)**2- z**2)/eps2 > 2*z)

输出：

1.1673039782?
0.0629726948?
31.4453571397?
True
True
True
True
True
True

这个证明是正确的吗？如果你有更好的证据，请告诉我。非常感谢。

Answer 1

这是一个很好的例子。Z3Py的下一个正式版本中将提供Z3RCF API。

顺便说一句，你可以在Z3RCF中创建许多无穷小。每一个都比之前创建的小得多。下面是相同的示例，但它通过使用两个不同的无穷小来避免2.0000000001 (它也是可用的here)。

eps1 = MkInfinitesimal()
eps2 = MkInfinitesimal() # eps2 is infinitely smaller thant eps1
print(( (1 + eps2)**2- 1**2)/eps2 < 2 + eps1)
print(( (1 + eps2)**2- 1**2)/eps2 > 2)