如何确定直线段是否与圆相切？

Question

我有一个原点为(cx，cy)的圆。半径是r。然后，有一条由两点定义的线段：(x1，y1)和(x2，y2)。如何确定直线段(不是延长线)是否与圆相切？如果是，这两个人在哪里接触？

我现在要做的是:找出点(cx，cy)到延伸线的距离。如果距离!= r，那么直线段肯定不与圆相切。即使距离== r，我们也需要找出它们相交的点。然后检查该点是否位于(x1，y1)和(x2，y2)之间的线段上。如果是，则直线段与圆相切-并且已经计算出接触点。这是可行的，但涉及到太多的数学运算。并且所有变量都是浮点型或双精度型变量。有没有更智能、更快的算法来达到同样的效果？

谢谢和问候，普拉莫德

Answer 1

我建议你停止对斜率的推理，因为在垂直方向上的奇点总是令人讨厌的。请尝试使用参数化形式：

p = p1 + t v   where   v = p2 - p1

现在将向量p1 - c投影到v上，取导数wrt t，设置为0，您很快就得到了t的值的表达式，该表达式描述了无穷大直线上最接近c的点，这是切点：

    (c - p1) dot v
t = --------------
       v dot v

如果该值介于0和1之间，则切点位于p1和p2之间。这是一个非常便宜的计算。如果是真的，您可以继续进行半径检查

(c - p1 - tv) dot (c - p1 - tv) ~= r^2  ?

请注意，上面已经计算了子项c - p1。

您提到只有圆在移动，所以您可以计算一次v dot v并保存它。

Answer 2

您可能知道这样一个属性:如果f(x,y) = y-m*x-c是直线段，则|f(x1,y1)|/sqrt(1+m^2)表示直线到(x1,y1)的距离。因此：

double m = (y2-y1)/(x2-x1);//slope
double c = y1 - m*x1;//since (x1,y1) lies on the line f(x1,y1) is zero
double d = abs(cy - m*cx - c)/sqrt(1+m*m);//distance
if(d==r)//radius
 //Yeah its tangent and do whatever you want
else
 //Nope

对于第二部分，伪代码；

g1(x,y) = y+(1/m)*x-c1;//perpendicular line through (x1,y1)
g2(x,y) = y+(1/m)*x-c2;//perpendicular line through (x2,y2)
c1 = y1+(1/m)*x1;
c2 = y2+(1/m)*x2;
if(g1(cx,cy)*g2(cx,cy)<0)//condition if point lies between two lines.Here make sure the coeffecients of y and x are of same sign in g1 and g2
//yes
else
//no

Answer 3

根据定义，切线必须垂直于半径线。在下图中，红线是切线，当且仅当它垂直于绿线(从中心到接触点)。

​

​

因此，如果您知道切线M的坡度(根据(x1,y1)和(x2,y2)计算)，则半径线的坡度为-1/M。假设你知道

计算接触点很容易。实际上，有两个可能的接触点，在圆的两边。

因此，您需要做的就是检查两个可能的接触点中是否有一个在线段上。