对于有向梯度的直方图，如何计算边缘像素的梯度向量？

Question

为了计算图像的方向梯度直方图，我们需要计算每个像素的梯度向量。但是，边缘上的像素缺少一些邻域来表示梯度向量。该如何应对呢？

例如，图像左边缘的像素在其左侧没有邻居。那么如何计算它在x方向的梯度呢？

Answer 1

参考MATLAB数值梯度文档：http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/gradient.html

梯度计算内部数据点的中心差。例如，考虑一个具有单位间隔数据A的矩阵，该矩阵具有水平梯度G=梯度(A)。内部梯度值G(:，j)为：

G(:,j) = 0.5*(A(:,j+1) - A(:,j-1));，其中j在2和N-1之间变化，其中N是尺寸(A，2)。

沿矩阵边缘的梯度值是用单边差计算的，因此

G(:,1) = A(:,2) - A(:,1); G(:,N) = A(:,N) - A(:,N-1);如果指定了点间距，则会相应地缩放差异。如果指定了两个或多个输出，则梯度还会以类似的方式计算沿其他维度的差异。与diff函数不同，gradient返回的数组的元素数与输入的元素数相同。

A = magic(5)

结果：

A =

   17   24    1    8   15
   23    5    7   14   16
    4    6   13   20   22
   10   12   19   21    3
   11   18   25    2    9


[Gx, Gy] = gradient(A)

结果：

Gx =

    7.0000   -8.0000   -8.0000    7.0000    7.0000
  -18.0000   -8.0000    4.5000    4.5000    2.0000
    2.0000    4.5000    7.0000    4.5000    2.0000
    2.0000    4.5000    4.5000   -8.0000  -18.0000
    7.0000    7.0000   -8.0000   -8.0000    7.0000

Gy =

    6.0000  -19.0000    6.0000    6.0000    1.0000
   -6.5000   -9.0000    6.0000    6.0000    3.5000
   -6.5000    3.5000    6.0000    3.5000   -6.5000
    3.5000    6.0000    6.0000   -9.0000   -6.5000
    1.0000    6.0000    6.0000  -19.0000    6.0000

Gx的最左列：

A(:, 2) - A(:, 1)

结果：

    7
  -18
    2
    2
    7

如您所见，Gx(:, 1)等于A(:, 2) - A(:, 1)。

对于Gy也有同样的结果：

A(2, :) - A(1, :)

结果：

6  -19    6    6    1

通过复制填充边：

对于滤镜梯度滤镜(大小为3，1和1，3)，填充只是在每一侧复制行和列：

   17   17   24    1    8   15   15
   17   17   24    1    8   15   15
   23   23    5    7   14   16   16
    4    4    6   13   20   22   22
   10   10   12   19   21    3    3
   11   11   18   25    2    9    9
   11   11   18   25    2    9    9

图像边界内的公式示例：

Gx(:，2) = 0.5*(A(:，3) - A(:，1))

示例：

0.5*(A(:, 3) - A(:, 1))

结果：

  -8.0000
  -8.0000
   4.5000
   4.5000
   7.0000