SICP 2.16区间算术(方案)

Question

这不是一个家庭作业问题，我只是对我对区间算术的理解和练习2.16的含义不满意。

由第2.14节定义的区间算术不显示正常算术的属性。两个操作(r1* r2) /(r1 +r2)和1/(1/r1 + 1/r2)应该是等价的，它们会产生不同的结果。该练习询问为什么会出现这种情况，以及是否有可能构建一个不是这种情况的区间算术系统。

本节讨论电气元件电阻的误差容限的计算。我不确定我是否理解了，在这些术语中，乘和除区间意味着什么。将两个区间相乘的应用是什么？

在这个例子中，有没有可能构造一个没有问题的区间算术系统？

http://mitpress.mit.edu/sicp/full-text/book/book-Z-H-14.html#%_sec_2.1.4

(define (make-interval a b)
  (cons a b))

(define (make-center-width c w)
  (make-interval (- c w) (+ c w)))

(define (make-center-percent c p)
  (make-center-width c (* c (/ p 100.0))))

(define (lower-bound i)
  (car i))

(define (upper-bound i)
  (cdr i))

(define (center i)
  (/ (+ (upper-bound i) (lower-bound i)) 2))

(define (width i)
  (/ (- (upper-bound i) (lower-bound i)) 2))

(define (percent i)
  (* 100.0 (/ (width i) (center i))))

(define (add-interval x y)
  (make-interval (+ (lower-bound x) (lower-bound y))
                 (+ (upper-bound x) (upper-bound y))))

(define (sub-interval x y)
  (make-interval (- (lower-bound x) (lower-bound y))
                 (- (upper-bound x) (upper-bound y))))

(define (mul-interval x y)
  (let ((p1 (* (lower-bound x) (lower-bound y)))
        (p2 (* (lower-bound x) (lower-bound y)))
        (p3 (* (lower-bound x) (lower-bound y)))
        (p4 (* (lower-bound x) (lower-bound y))))
    (make-interval (min p1 p2 p3 p4)
                   (max p1 p2 p3 p4))))

(define (div-interval x y)
  (if (= (width y ) 0) 
      (error "division by interval with width 0")
      (mul-interval x
                    (make-interval (/ 1.0 (upper-bound y))
                                   (/ 1.0 (lower-bound y))))))

(define (parl1 r1 r2)
  (div-interval (mul-interval r1 r2)
                (add-interval r1 r2)))

(define (parl2 r1 r2)
  (let ((one (make-interval 1 1)))
              (div-interval one
                           (add-interval (div-interval one r1)
                                         (div-interval one r2))))

(define (r1 (make-interval 4.0 3.2)))
(define (r2 (make-interval 3.0 7.2)))

(center (parl1 r1 r2))
(width (parl1 r1 r2))
(newline)
(center (parl2 r1 r2))
(width (parl2 r1 r2))

Answer 1

这是因为区间算术中的运算不具有field的算术结构。

正如Sussman所说，练习是困难的--您需要检查字段结构的每个操作，并查看哪个操作不满意。

本练习要求我们表明the interval arithmetic不是函数范围的算术。

定义在域-1,1上的函数，如f (x) = x^2，其范围为0,1，包含在-1,1 * -1,1 = -1，1中，通过将符号x替换为符号x的域而获得。

如果我们定义一个类似的函数，对每个维度使用不同的变量，比如f(x，y) =x* y，那么这个函数的范围，当定义在- 1，1 * -1,1域上时，与区间-1,1 * -1，1= -1,1，1相同，因为x使用一次，y也是如此。

当函数f(..，x，..)如果每个符号在f的定义中只使用一次，则在每个变量x中连续，我们有与区间算术相同的值域算术。

在爱丽丝的第一个公式中，并行电阻的计算重复2次变量R1和2次变量R2，并且使用相同的自变量，通过将每个名称替换为相应的域间隔，该函数的范围被包括在从函数的公式中获得的相应间隔的乘积中，但严格来说并不相同。

我们被要求重写任何函数，使得重写的函数的范围与应用重写的函数的公式获得的间隔相同，用与重写的函数中相应名称的域相等的间隔替换名称，或者表明这对于每个可能的函数都是不可能的。

这个问题被称为，这是一个很大的问题，它的理解超出了SICP的目的，需要用多元微分方程来解决。

正如Sussman自己所说，这个练习的目的只是为了说明数据可以以多种方式编码。重点不在于数学，而在于数据抽象。

Answer 2

理解这个问题的最简单方法是查看非常简单的表达式e = x/x，其中x在[2,3]中。如果我们使用区间算术，我们得到e在[2/3, 3/2]中，而二阶算术显示e=x/x=1。那是怎么回事呢？

其实很简单：，在使用区间运算的时候，我犯了一个错误，假设x，，，可以同时有两个不同的值。当分子是3，分母是2时，e的最大值是给定的，但是，由于两者应该始终相同，这是不可能的。

那么，有没有可能使用区间运算呢？是的，当所有间隔只出现一次时，就不会出现同一变量在不同间隔计算中出现不同值的问题。

有没有可能创建一个没有这个问题的算术包？不，因为不是每个函数都可以在每个变量只出现一次的情况下编写。此问题称为dependency problem。