第一个函数者定律遵循第二个吗？

Question

根据this question的说法，第二个函子定律在哈斯克尔中隐含在第一个函数定律中：

1st Law: fmap id = id
2nd Law : fmap (g . h) = (fmap g) . (fmap h)

反之亦然？从第二个定律开始，并将g设置为id，我可以推导出下面的公式并得到第一个定律吗？

fmap (id . h) x = (fmap id) . (fmap h) x
fmap h x = (fmap id) . (fmap h) x
x' = (fmap id) x'
fmap id = id

where x' = fmap h x

Answer 1

不是

data Break a = Yes | No

instance Functor Break where
   fmap f _ = No

显然第二定律是成立的

   fmap (f . g) = const No = const No . fmap g = fmap f . fmap g

但是，第一定律不是这样的。您的参数的问题并不是所有的x'都是fmap f x形式的

Answer 2

不，它只在一个方向上起作用。

考虑下面的Functor实例：

data Foo a = Foo Int a

instance Functor Foo where
    fmap f (Foo _ x) = Foo 5 (f x)

它满足第二定律，但不满足第一定律。

证明中的最后一步是无效的--您显示了fmap id x' = x'，但这仅限于最初从fmap返回的x'，而不是任意值。