Lapack dgeev简并特征向量非正交

Question

我正在编写一个广泛使用特征值和特征向量的程序。在测试程序时，我遇到了两个具有相同特征值的特征向量不完全正交的情况。我知道在退化特征向量的情况下，解不是唯一的，并且求解例程不能保证产生特定的向量，因为退化特征向量的线性组合仍然是具有相同特征值的特征向量。然而，我确实希望他们两个是正交的。

这是一个bug吗？dgeev产生的所有特征向量都应该是正交的吗？有没有另一个例程总是打印出正交向量？

下面是一个C语言的测试用例：

#include <stdio.h>

void ctofortran(double *matrix,double *fortranMatrix,int numberOfRows,int numberOfColumns)
{
/******************************************************************/
/* This function converts a row-major C matrix into a column-major*/
/* fortran "array".                                               */
/******************************************************************/
int columnNumber,rowNumber;
for (columnNumber = 0;columnNumber<numberOfColumns ;columnNumber++ )
{
    for (rowNumber = 0;rowNumber<numberOfRows ;rowNumber++ )
    {
        fortranMatrix[rowNumber+numberOfRows*columnNumber] = *(matrix + columnNumber+numberOfColumns*rowNumber);
    }
}
}


int main(int argc, char **argv)
{
double matrix[] = {4,   -1, 0,  -1, 0,  0,  0,  0,  
                  -1,   4,  -1, 0,  0,  0,  0,  0,  
                   0,   -1, 4,  0,  -1, 0,  0,  0,  
                  -1,   0,  0,  4,  0,  -1, 0,  0,  
                   0,   0,  -1, 0,  4,  0,  0,  -1,     
                   0,   0,  0,  -1, 0,  4,  -1, 0,  
                   0,   0,  0,  0,  0,  -1, 4,  -1,     
                   0,   0,  0,  0,  -1, 0,  -1, 4 };
int rows = 8, columns = 8;
double *fortranmatrix = malloc(rows*columns*sizeof(double));
ctofortran(matrix,fortranmatrix,rows,columns);



char jobvl ='v';
char jobvr = 'n';
//This symbolizes that the left eigenvectors will be found
double *realEigenValues,*imaginaryEigenValues;
realEigenValues = malloc(rows*sizeof(double));
imaginaryEigenValues = malloc(rows*sizeof(double));
double *leftEigenVectors = malloc(rows*columns*sizeof(double));
int lwork = rows * 4;
double *work = malloc(lwork*sizeof(double));
//This allocates workspace to be used by dgeev. The recomended space is 4 times the dimension
int info = 0;//After dgeev info = 0 if the calculation went correctly   


dgeev_(&jobvl,&jobvr,&rows,fortranmatrix,&rows,realEigenValues,imaginaryEigenValues,leftEigenVectors,&rows,NULL,&rows,work,&lwork,&info);

int index;
for(index = 0;index<rows;index++)
printf("Eigenvalue %d %g + %g * i\n",index,*(realEigenValues+index), *(imaginaryEigenValues+index));

int v1 = 1, v6 = 6;
double sum = 0;
printf("\nv1\tv6\n");
for(index = 0;index<rows;index++)
{
printf("%g\t%g\n",*(leftEigenVectors+v1*rows+index),*(leftEigenVectors+v6*rows+index));
sum += *(leftEigenVectors+v1*rows+index) * *(leftEigenVectors+v6*rows+index);
}
printf("\n Dot product between v1 and v6 %g\n",sum);

return 0;

}

下面是输出：

Eigenvalue 0 2 + 0 * i
Eigenvalue 1 2.58579 + 0 * i
Eigenvalue 2 4 + 0 * i
Eigenvalue 3 6 + 0 * i
Eigenvalue 4 5.41421 + 0 * i
Eigenvalue 5 5.41421 + 0 * i
Eigenvalue 6 2.58579 + 0 * i
Eigenvalue 7 4 + 0 * i

v1          v6
-0.499878   0
-0.345657   0.353553
0.0110458   0.5
-0.361278   -0.353553
0.361278    0.353553
-0.0110458  -0.5
0.345657    -0.353553
0.499878    -9.88042e-16

Dot product between v1 and v6 0.0220917

在我看来，v6看起来更“正常”。

*这个矩阵是对称的，但不会总是对称的。

Answer 1

尝试使用%lf打印，如下所示：

printf("\n Dot product between v1 and v6 %lf\n",sum);

就像这里描述的那样：Scanf/Printf double variable C

如果这还不起作用，那么我猜这是一个浮点问题(因为他们的点积很小)。