Biapplicative和Bimonad？

Question

哈斯克尔的Data.Bifunctor基本上是：

class Bifunctor f where
  bimap :: (a -> c) -> (b -> d) -> f a b -> f c d 

我也可以找到一个Biapply。我的问题是，为什么没有一个完整的双层次结构(bierarchy?)像这样：

class Bifunctor f => Biapplicative f where
  bipure :: a -> b -> f a b
  biap :: f (a -> b) (c -> d) -> f a c -> f b d 

class Biapplicative m => Bimonad m where
  bibind :: m a b -> (a -> b -> m c d) -> m c d

  bireturn :: a -> b -> m a b
  bireturn = bipure

bilift :: Biapplicative f => (a -> b) -> (c -> d) -> f a c -> f b d
bilift f g = biap $ bipure f g 

bilift2 :: Biapplicative f => (a -> b -> c) -> (x -> y -> z) -> f a x -> f b y -> f c z
bilift2 f g = biap . biap (bipure f g)

Pair是这些的一个实例：

instance Bifunctor (,) where
  bimap f g (x,y) = (f x, g y)

instance Biapplicative (,) where
  bipure x y = (x,y)
  biap (f,g) (x,y) = (f x, g y)

instance Bimonad (,) where
  bibind (x,y) f = f x y

像这样的类型..。

data Maybe2 a b = Fst a | Snd b | None
--or 
data Or a b = Both a b | This a | That b | Nope

...would IMO也有实例。

是否没有足够的匹配类型？或者是关于我的代码的某些方面存在严重缺陷？

Answer 1

范畴论中的单体是内函子，即当域和余域是同一范畴时的函子。但是Bifunctor是从产品类别Hask x Hask到Hask的函数器。但我们可以尝试找出Hask x Hask类别中的monad是什么样子的。这是一个类别，其中对象是成对的类型，即(a, b)，箭头是成对的函数，即从(a, b)到(c, d)的箭头具有类型(a -> c, b -> d)。此类别中的内函数将类型对映射到类型对，即(a, b)到(l a b, r a b)，并将箭头对映射到箭头对，即

(a -> c, b -> d) -> (l a b -> l c d, r a b -> r c d)

如果将此映射函数拆分为2，您将看到Hask x Hask中的内函数器与两个Bifunctor相同，即l和r。

现在对于单体：return和join是箭头，所以在本例中都是两个函数。return是从(a, b)到(l a b, r a b)的箭头，join是从(l (l a b) (r a b), r (l a b) (r a b))到(l a b, r a b)的箭头。它看起来是这样的：

class (Bifunctor l, Bifunctor r) => Bimonad l r where
  bireturn :: (a -> l a b, b -> r a b)
  bijoin :: (l (l a b) (r a b) -> l a b, r (l a b) (r a b) -> r a b)

或者是分开的：

class (Bifunctor l, Bifunctor r) => Bimonad l r where
  bireturnl :: a -> l a b
  bireturnr :: b -> r a b
  bijoinl :: l (l a b) (r a b) -> l a b
  bijoinr :: r (l a b) (r a b) -> r a b

与m >>= f = join (fmap f m)类似，我们可以定义：

  bibindl :: l a b -> (a -> l c d) -> (b -> r c d) -> l c d
  bibindl lab l r = bijoinl (bimap l r lab)
  bibindr :: r a b -> (a -> l c d) -> (b -> r c d) -> r c d
  bibindr rab l r = bijoinr (bimap l r rab)

相对单子

最近，relative monads已经被开发出来。相对单体不需要是内部函数器！如果我们把论文翻译成Haskell中的Bifunctors，你会得到：

class RelativeBimonad j m where
  bireturn :: j a b -> m a b
  bibind :: m a b -> (j a b -> m c d) -> m c d

它定义了一个相对于双函数器j的单体。如果你选择j作为(,)，你会得到你的定义。

这些定律与单元律相同：

bireturn jab `bibind` k = k jab
m `bibind` bireturn = m
m `bibind` (\jab -> k jab `bibind` h) = (m `bibind` k) `bibind` h

第一条法则阻止Maybe2成为实例，因为bibind必须能够从bireturn的结果中提取这两个值。