尝试计算具有5个数字的板的状态空间

Question

我有一块5x5的电路板，在电路板的最上面一排有1.5个数字。

只要不在另一个数字的顶部，每个数字最终都可以在任何位置结束。

每个数字都可以在一次移动中向上、向下、向左或向右移动一个，但是我不认为这会对状态空间产生影响，因为最终每个数字都可以在给定无限移动次数的情况下到达任何地方。

因为每个数字最终可以在任何点上，除了在另一个数字的顶部之外，所以我假设一个数字可以在任何时候处于1/21位置？即电路板空间(25)减去它不能在(4)之上的数字。

我最初的计算是((n*n)-(n-1))^n，因为我试图考虑一个数字不能在另一个数字的顶部，但我发现了以下计算：

我在一个wiki页面上找到了这个，它是一种计算围棋棋盘状态空间的方法。

每个空间可以有6个不同的可能值(1..5和空)，并且棋盘有25个正方形，因此等式为(n+1)^(n*n) = 6^25 = 2.843x10^19

这是正确的吗？一个数字在任何时刻只能出现在25个空间中的21个空间的事实不会影响它吗？

如果不正确，请告诉我原因或/并提供一个有效的解决方案。

非常感谢！:)

Answer 1

这是正确的吗？一个数字在任何时刻只能出现在25个空间中的21个空间的事实不会影响它吗？

不，这是不正确的。与围棋棋盘的不同之处在于，你只有5个数字，因此25个位置中的20个总是空的，并且每个非空状态只能出现一次。

所以对于数字所在的五个位置有25 `choose` 5的可能性，并且这五个数字可以在这五个位置上以5!的方式排列。

因此，您的总状态空间为

25!/20! = 21*22*23*24*25 = 6375600

州。

Answer 2

我想你要找的答案是(25选择5)*5！

这相当于在黑板上选择任何五个空格，然后在其中排列数字的所有组合。不过，这可能没有考虑到重叠。