mathematica:数值积分中的求值顺序

Question

嗨，我有一个关于数学中的数值积分的问题。下面是我的测试函数

Table[NIntegrate[
Boole[Sqrt[1 - cosk^2]*Sqrt[1 - cosk2^2] > Abs[a - cosk*cosk2]]/
Sqrt[(1 - cosk^2)*(1 - cosk2^2) - (a - cosk*cosk2)^2],
{cosk, -1,1}, {cosk2, -1, 1}, Method -> "GlobalAdaptive"], {a, -.9, .9, .1}]

虽然由于被积函数中的布尔函数，sqrt中的参数应该始终为正，因此只产生实值，但是积分会产生复数值。有没有可能首先计算布尔函数，并且只有当它为真时，才开始数值积分？

如果我使用蒙特卡洛积分策略计算相同的积分

Table[NIntegrate[
Boole[Sqrt[1 - cosk^2]*Sqrt[1 - cosk2^2] > Abs[a - cosk*cosk2]]/
Sqrt[(1 - cosk^2)*(1 - cosk2^2) - (a - cosk*cosk2)^2], {cosk, -1, 
1}, {cosk2, -1, 1}, Method -> {"MonteCarlo", "MaxPoints" -> 10^8, 
"SymbolicProcessing" -> None}], {a, -.9, .9, .1}]

由于布尔函数，我如何才能确定它是否包含了大量的零？我认为，如果首先评估蒙特卡洛网格的每个采样点的布尔函数，那么评估可以节省大量的计算时间。如果我用"AdaptiveMonteCarlo“替换"MonteCarlo”，结果就完全错了。

Answer 1

如果你变成一个真正的守卫会发生什么？( Boole表单可能过于聪明(Mathematica可能不会将false --> 0视为真正的守卫)。)

Table[NIntegrate[
If[Sqrt[1 - cosk^2]*Sqrt[1 - cosk2^2] > Abs[a - cosk*cosk2],
1/Sqrt[(1 - cosk^2)*(1 - cosk2^2) - (a - cosk*cosk2)^2], 0],
{cosk, -1,1}, {cosk2, -1, 1}], {a, -.9, .9, .1}]

Answer 2

下面是如何使用EvaluationMonitor了解采样方法的作用：

out = Reap[With[{a = -.9},
   NIntegrate[
    v = Boole[
       Sqrt[1 - cosk^2]*Sqrt[1 - cosk2^2] > Abs[a - cosk*cosk2]]/
      Sqrt[(1 - cosk^2)*(1 - cosk2^2) - (a - 
           cosk*cosk2)^2], {cosk, -1, 1}, {cosk2, -1, 1}, 
    Method -> "LocalAdaptive", 
    EvaluationMonitor :> Sow[{cosk, cosk2, v}]]]]

注意：LocalAdaptive非常慢，但可能是最准确的纯数值结果：

     Graphics@Point[out[[2, 1]][[All, {1, 2}]]]

​

​

这是全局自适应。

​

​

MonteCarlo只是在任何地方进行采样，而不考虑被积分值。

最好的方法可能是使用全局自适应并设置MinRecursion。满足自己，虚构的部分可以忽略不计，并接受结果的真实部分。当然，以解析的方式解决您的集成限制并完全消除Boole会好得多。