我试着用NDSolve在Mathematica中解一个非常简单的热传导微分方程，但是我得到的解是非常奇怪的…

Question

这是一个非常简单的一维固相热传导微分方程，这是我的代码：

 a = NDSolve[{D[721.7013888888889` 0.009129691127380562` tes[t, x], 
     t] == 2.04988920646734`*^-6 D[tes[t, x], x, x], 
   tes[t, 0] == 298 + 200 t, tes[t, 0.01] == 298, 
   tes[0, x] == 298}, {tes[t, x]}, {t, 0, 0.005}, {x, 0, 0.01}]
Plot3D[tes[t, x] /. a, {t, 0, 0.005}, {x, 0, 0.01}, PlotRange -> All]
(Plot[(tes[t, x] /. a) /. t -> 0.0005, {x, 0, 0.01}, 
  PlotRange -> All])

运行它之后，您将看到:温度(在等式中命名为tes)低于298！这太荒谬了，这违反了热力学第二定律…这个错误是怎么出来的？我该怎么纠正它呢？

Answer 1

这个问题已经被here解决了，

我应该承认，在我发布这个问题的时候，我还没有抓住这个问题的本质…

Answer 2

我将只讨论数值方面的内容。首先，缩放时间和空间，使您的方程以无量纲单位表示为$\partial_t f=\partial_{x，x}f$。然后，举例来说，

a = NDSolve[{D[ tes[t, x], t] == D[tes[t, x], x, x], 
   tes[t, 0] \[Equal] 1,
   tes[t, 1] \[Equal] 1,
   tes[0, x] \[Equal] Cos[2 \[Pi]*x/2]^2},
  tes[t, x],
  {t, 0, 1},
  {x, 0, 1}
  ]

Plot3D[tes[t, x] /. a, {t, 0, .2}, {x, 0, 1}, PlotRange -> All, 
 AxesLabel \[Rule] {"t", "x"}]

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所以热只是向内扩散(注意，我改变了边界和初始条件)。