求解R中的一个微分方程组(鞍点稳定性)

Question

我想解决一个平面微分方程组，其中一个变量的初始条件是给定的，而另一个变量的初始条件需要确定，以确保系统收敛到它的平衡点。如果平衡点是鞍点稳定的(这对于从经济学中分析的最优控制问题产生的系统是有意义的)，则存在该变量的唯一初值以实现收敛。因此，如何确定这样的初始值以便能够求解系统是主要问题。是否有可能使用R来确定这样的初始条件的值，从而求解该系统？

该系统是：

x‘= sqrt(x)-x -y

y‘= y*((sqrt(x))^(-1)-1)

X和y都是非负的。分析表明存在唯一的x和y严格正的平衡点，对雅可比矩阵的分析表明一个特征值为正，另一个特征值为负，因此平衡点是鞍点稳定的。如果x(0)给定，比如说等于1，我们如何确定y(0)的值，使系统收敛到(x，y)的正平衡值？我希望能够模拟x和y独特的收敛动态路径。有人能帮我吗？

使用deSolve我们可以很容易地求解这个系统，但是我们需要指定x(0)和y(0)。是否可以使用deSolve或其他软件包来确定y(0)的值是多少，从而使y收敛到其平衡值？也许我们应该依靠射击算法来猜测和重新校准初始条件y(0)，但我不知道如何做到这一点。

Answer 1

你想要做的是计算“鞍座的稳定流形”，这是通过

计算平衡状态下的雅可比，J

• Use的特征值和特征向量作为初始条件y0 = Xstar - eps * eigenvector**，，其中** eigenvector J**，是对应于J**，的负特征值的特征向量并且** eps 是一个非常小的数字(例如，对于动态，但是在反向时间，例如，= seq(-10,0，by=.1)，在lsoda

• 中，使用初始条件y0 = Xstar + eps * eigenvector

重复步骤3和4