Miller-Rabin素性测试FIPS 186-3的实现

Question

我正在尝试根据FIPS 186-3 C.3.1中的描述来实现米勒-拉宾素性检验。无论我做什么，我都不能让它工作。指令非常具体，我认为我没有遗漏任何东西，但我得到了非素数值的true。

我做错什么了？

template <typename R, typename S, typename T>
T POW(R base, S exponent, const T mod){
    T result = 1;
    while (exponent){
        if (exponent & 1)
            result = (result * base) % mod;
        exponent >>= 1;
        base = (base * base) % mod;
    }
    return result;
}



// used uint64_t to prevent overflow, but only testing with small numbers for now
bool MillerRabin_FIPS186(uint64_t w, unsigned int iterations = 50){
    srand(time(0));
    unsigned int a = 0;
    uint64_t W = w - 1; // dont want to keep calculating w - 1
    uint64_t m = W;
    while (!(m & 1)){
        m >>= 1;
        a++;
    }

    // skipped getting wlen
    // when i had this function using my custom arbitrary precision integer class,
    // and could get len(w), getting it and using it in an actual RBG 
    // made no difference 

    for(unsigned int i = 0; i < iterations; i++){
        uint64_t b = (rand() % (W - 3)) + 2; // 2 <= b <= w - 2
        uint64_t z = POW(b, m, w);
        if ((z == 1) || (z == W))
            continue;
        else
            for(unsigned int j = 1; j < a; j++){
                z = POW(z, 2, w);
                if (z == W)
                    continue;
                if (z == 1)
                    return 0;// Composite
            }
    }
    return 1;// Probably Prime
}

这一点：

std::cout << MillerRabin_FIPS186(33) << std::endl;
std::cout << MillerRabin_FIPS186(35) << std::endl;
std::cout << MillerRabin_FIPS186(37) << std::endl;
std::cout << MillerRabin_FIPS186(39) << std::endl;
std::cout << MillerRabin_FIPS186(45) << std::endl;
std::cout << MillerRabin_FIPS186(49) << std::endl;

给我的是：

0
1
1
1
0
1

Answer 1

您的实现与Wikipedia的唯一不同之处在于您忘记了第二个返回复合语句。在循环的末尾应该有一个返回0。

编辑:正如Daniel指出的，还有第二个不同之处。continue是继续内部循环，而不是像它应该的那样继续外部循环。

for(unsigned int i = 0; i < iterations; i++){
    uint64_t b = (rand() % (W - 3)) + 2; // 2 <= b <= w - 2
    uint64_t z = POW(b, m, w);
    if ((z == 1) || (z == W))
        continue;
    else{
        int continueOuter = 0;
        for(unsigned int j = 1; j < a; j++){
            z = POW(z, 2, w);
            if (z == W)
                continueOuter = 1;
                break;
            if (z == 1)
                return 0;// Composite
        }
        if (continueOuter) {continue;}
    }
    return 0; //This is the line you're missing.
}
return 1;// Probably Prime

此外，如果输入是偶数，它将始终返回可能的素数，因为a为0。你应该在开始的时候加一个额外的检查。

Answer 2

在内部循环中，

        for(unsigned int j = 1; j < a; j++){
            z = POW(z, 2, w);
            if (z == W)
                continue;
            if (z == 1)
                return 0;// Composite
        }

当使用z == W时，您应该使用break;而不是continue;。通过continueing，在该循环的下一次迭代中，如果有一个，z将变为1，并且候选可能被错误地声明为复合。这里，在小于100的素数中，17，41，73，89和97都会发生这种情况。