lambda演算语法树

Question

我正在试图弄清楚如何为下面的表达式绘制语法树。首先，这到底是如何表现的？它看起来接受1和2作为参数，如果n为0，它将只返回m。

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另外，有没有人能指出一个解析树的起点，或者一个例子？我还没能找到一个。

Answer 1

一旦定义了函数，您就可以在函数本身上应用参数，从而返回新函数，即所应用参数的结果。

我不确定您是使用哪种语言编写代码的，但应用程序会产生类似如下的结果：

\f.\n.\m.if isZero n then m else f (pred n) (succ m)

由于\f是函数的定义，因此您可以将上面的代码编写为：

add = (\n.\m.if (isZero n) then m else add (pred n) (succ m))

和应用程序：

add = (\n.\m.if (isZero n) then m else add (pred n) (succ m))
add 1 2
(\n.\m.if (isZero n) then m else add (pred n) (succ m)) 1 2

将最外面的变量替换为最里面的参数(在本例中，n为1)：

((**\n**.\m.if (isZero n) then m else f (pred **n**) (succ m)) **1**) 2
(\m.if (isZero 1) then m else add (pred 1) (succ m)) 2

稍微解决一下：

(\m.if (isZero 1) then m else add **(pred 1)** (succ m)) 2
(\m.if (isZero 1) then m else add 0 (succ m)) 2

应用第二个参数，并解决：

(**\m**.if (isZero 1) then **m** else add 0 (succ **m**)) **2**
(if (isZero 1) then 2 else add 0 (succ 2))
(if (isZero 1) then 2 else add 0 **(succ 2)**)
(if (isZero 1) then 2 else add 0 3)

我们知道(isZero 1)为false；因此，我们求解上面的表达式并得到结果：

(if **(isZero 1)** then 2 else add 0 3)
(if False then 2 else add 0 3)
add 0 3

这与将0应用于函数f，然后将3应用于结果是相同的。上面的表达式可以理解为："f“is: 0应用于"f"，3应用于前一个应用的结果。

但是f以前被定义为：

(\f.\n.\m.if (isZero n) then m else f (pred n) (succ m))

因此，在这种情况下，您将拥有：

add = (\f.\n.\m.if (isZero n) then m else f (pred n) (succ m))

add 0 3 = \n.\m.if (isZero n) then m else add (pred n) (succ m)) 0 3
    = **\n**.\m.if (isZero **n**) then m else add (pred **n**) (succ m)) **0** 3
    = \m.if (isZero 0) then m else add (pred 0) (succ m)) 3
    = **\m**.if (isZero 0) then **m** else add (pred 0) (succ **m**)) **3**
    = if (isZero 0) then 3 else add (pred 0) (succ 3))
    = if **(isZero 0)** then 3 else add (pred 0) (succ 3))
    = if True then 3 else add (pred 0) (succ 3))
    = 3

在语法树中，您可以简单地显示扩展，得到结果3。

作为应用程序过程的一个更直接的示例，考虑定义为(\x.\y.x + y)的函数"sum"，(sum 3 2)的结果将是：

(sum 3 2)
((sum 3) 2)
(((sum) 3) 2)
(((\x.\y.x + y) 3) 2)
((\y.3 + y) 2)
(3 + 2)
5

对求解表达式的顺序没有限制；lambda演算被证明具有相同的结果，无论使用的约简的顺序是什么。See ref。

正如Giorgio所指出的，Y是一个定点组合器，它允许您在某个点停止迭代，如果您的应用程序返回相同的表达式。

由于应用程序需要有限的迭代次数，因此解决方案将是相同的，只需注意固定的指针组合标记：

Y = (\f.\n.\m.if (isZero n) then m else f (pred n) (succ m))
Y add = (\f.\n.\m.if (isZero n) then m else f (pred n) (succ m)) add
Y add = (**\f**.\n.\m.if (isZero n) then m else **f** (pred n) (succ m)) **add**
Y add = \n.\m.if (isZero n) then m else add (pred n) (succ m)

Y add 0 3 = \n.\m.if (isZero n) then m else add (pred n) (succ m)) 0 3
    = **\n**.\m.if (isZero **n**) then m else add (pred **n**) (succ m)) **0** 3
    = \m.if (isZero 0) then m else add (pred 0) (succ m)) 3
    = **\m**.if (isZero 0) then **m** else add (pred 0) (succ **m**)) **3**
    = if (isZero 0) then 3 else add (pred 0) (succ 3))
    = if **(isZero 0)** then 3 else add (pred 0) (succ 3))
    = if True then 3 else add (pred 0) (succ 3))
    = 3

引用fixed point combinator。