Pari/GP将整数与实数进行比较

Question

我想测试一个整数在Pari-gp中是否是一个完美的幂。测试sqrt(n)==floor(sqrt(n))可以很好地测试正方形，但对于其他功能：sqrtn(n,k)==floor(sqrtn(n,k))和k >=3，它都会失败。

我想可能是因为一个数字是实数，另一个是整数。这个测试仍然适用于正方形。我做错了什么？

Answer 1

素数幂的因子分解只涉及一个基数(素数因子本身)。因此，执行测试的更好方法是：

isPrimePower(x) = {
  matsize(factor(x))[1]==1
}

下面是对前10个数字的测试：

for(i=0,10,print(i,"->",isPrimePower(i)))
0->1  (yes, p^0)
1->0
2->1  (yes, 2^1)
3->1  (yes, 3^1)
4->1  (yes, 2^2)
5->1  (yes, 5^1)
6->0
7->1  (yes, 7^1)
8->1  (yes, 2^3)
9->1  (yes, 3^3)
10->0

对于复合基，我必须假设你的意思是完美的幂因数成指数e >= 2，否则任何n= n^1。即使现在我们从1=1^k开始也有1的情况。

isPerfectPower(x) = { 
  local(e);
  if(x==1, return(0));
  factors = factor(x);
  e = factors[1,2];
  if(e < 2, return(0));
  for(i=2,matsize(factors)[1],
      if(factors[i,2] != e, return(0));
  );
  return(1);
}

再来一次测试：

> for(i=1,20,print(i,"->",isPerfectPower(i)))
1->0
2->0
3->0
4->1
5->0
6->0
7->0
8->1
9->1
10->0
11->0
12->0
13->0
14->0
15->0
16->1
17->0
18->0
19->0
20->0

Answer 2

1. 你应该直接使用ispower()，而ispower(, k)则是完美的k次方。

1. factor方法的问题是，对于大输入，它将非常慢，而ispower在多项式时间内运行。

1. 测试sqrtn(n,k)==floor(sqrtn(n,k))不可靠，因为PARI不保证精确舍入:即使sqrtn()的值在数学上是精确整数，PARI也可能返回比精确答案稍大或稍小的任何实数。使用round比使用floor要好一点。尽管它仍然不可靠，但这里有一个或多或少可行的解决方案

Y= round(sqrtn(n，k))；y^k == n

(前提是realprecision足够大)。但ispower是从模块化测试开始的，只要数字不是k次方，它就会变得非常快。

Answer 3

您可以测试frac(sqrtn(261,3)+ epsilon ) < 2*epsilon，其中epsilon是您认为可以接受的某个非常小的数字，例如1E-15

我写它的原因不仅仅是"... < epsilon“，因为有时你会得到4.0000000001，但你也可能会得到3.9999999999。