在Matlab中通过计算ODE函数中的ODE值来检测稳态

Question

我有一个常微分方程系统，我想要解决，但有一个棘手的部分，当系统达到稳定状态时，我想改变一个(或多个)参数的值。例如，考虑以下内容：

function dydt = diff(t,x,params)
   F = params(1);
   G = params(2);
   dydt = zeros(2,1);
   dydt(1) = F*x(1) - G*x(1)*x(2);
   dydt(2) = (F-G)*x(2);
end

我希望我的代码能够工作，例如，当系统达到稳定状态时，F的值更改为10，G的值更改为2。我正在考虑使用以下命令来检测dydt(1)和dydt(2)的值，例如，

if norm(dydt)<1
   F = 10;
   G = 2;
end

如何在Matlab中对ODE表达式执行此操作？如果我把这个If条件放在ODE表达式之前，那么dydt的值将始终为零。但是如果我把这个if条件放在ODE表达式之后，If条件将不会用来纠正ODE表达式。

谢谢!

Answer 1

假设ODE的参数是固定的，并且不依赖于系统的状态。您要做的是模拟一个分段连续的常微分方程。这类问题通常使用event location解决(假设存在解决方案)。您需要在关键点停止模拟，更改参数，然后使用与上一个模拟结束时相同的初始条件重新启动新的模拟。

下面是您的ODE函数的一个小示例。我不知道您的初始条件、初始参数值或其他设置，所以这里只是演示一下这个方案：

function eventsdemo
params = [-1.5 1];
tspan = [0 10];
x0 = [1;1];
opts = odeset('Events',@events);
[t1,x1] = ode45(@(t,x)f(t,x,params),tspan,x0,opts); % Simulate with events

% Change parameters, set initial conditions based on end of previous run
params = [1.5 1];
x0 = x1(end,:);
tspan = [t1(end) 10];
[t2,x2] = ode45(@(t,x)f(t,x,params),tspan,x0); % Simulate again

% Concatenate results, removing duplicate points
t = [t1;t2(2:end)];
x = [x1;x2(2:end,:)];

figure;
plot(t,x);
hold on;
plot(t2(1),x2(1,:),'k*'); % Plot event location


function dxdt = f(t,x,params) %#ok<INUSL>
F = params(1);
G = params(2);
dxdt = [F*x(1) - G*x(1)*x(2);
        (F-G)*x(2)];


function [value,isterminal,direction] = events(t,x) %#ok<INUSL>
value = norm(x)-1e-3; % Don't try to detect exact zero for asymptotics
isterminal = true;
direction = -1;

在这种情况下，解渐近于(0,0)处的稳定不动点。重要的是，不要试图精确地检测(0,0)，因为解决方案可能永远不会达到那个点。您可以改为使用小公差。但是，根据系统的不同，选择此公差可能会影响更改参数后的行为。您还可以考虑将此问题重新表述为边值问题。我不知道你想用这个系统做什么，所以我不能说太多(这可能会偏离这个网站的话题)。