在给定字典索引的情况下寻找数值排列的算法

Question

我正在寻找一种算法，给定一组数字(例如1，2，3)和一个索引(例如2)，将根据字典顺序得到这些数字的第二个排列。例如，在本例中，算法将返回1 3 2。

Answer 1

这里有一个简单的解决方案：

from math import factorial # python math library

i = 5               # i is the lexicographic index (counting starts from 0)
n = 3               # n is the length of the permutation
p = range(1, n + 1) # p is a list from 1 to n

for k in range(1, n + 1): # k goes from 1 to n
    f = factorial(n - k)  # compute factorial once per iteration
    d = i // f            # use integer division (like division + floor)
    print(p[d]),          # print permuted number with trailing space
    p.remove(p[d])        # delete p[d] from p
    i = i % f             # reduce i to its remainder

输出：

3 2 1

如果p是一个列表，则时间复杂度为O(n^2)；如果p是一个哈希表，并且预计算出factorial，则时间复杂度为O(n)。

Answer 2

以下是Scala中的示例解决方案，我将对其进行详细说明：

/**
    example: index:=15, list:=(1, 2, 3, 4)
*/ 
def permutationIndex (index: Int, list: List [Int]) : List [Int] = 
  if (list.isEmpty) list else {
    val len = list.size     // len = 4
    val max = fac (len)     // max = 24
    val divisor = max / len // divisor = 6
    val i = index / divisor // i = 2
    val el = list (i)
    el :: permutationIndex (index - divisor * i, list.filter (_ != el)) }

由于Scala不是那么知名，我想我必须解释算法的最后一行，除此之外，这是非常不言自明的。

    el :: elist

从一个元素el和一个列表elist构造一个新列表。Elist是一个递归调用。

    list.filter (_ != el)

只是没有元素el的列表。

使用一个小列表对其进行详尽的测试：

(0 to fac (4) - 1).map (permutationIndex (_, List (1, 2, 3, 4))).mkString ("\n")

用两个例子来测试更大列表的速度：

scala> permutationIndex (123456789, (1 to 12).toList) 
res45: List[Int] = List(4, 2, 1, 5, 12, 7, 10, 8, 11, 6, 9, 3)

scala> permutationIndex (123456790, (1 to 12).toList) 
res46: List[Int] = List(4, 2, 1, 5, 12, 7, 10, 8, 11, 9, 3, 6)

结果立即出现在一台5岁的笔记本电脑上。有12个元素的列表有479001600个排列，但是对于100或1000个元素，这个解决方案应该仍然很快-您只需要使用BigInt作为索引。

它怎麽工作?为了使示例可视化，我制作了一个图形，其中包含(1，2，3，4)的列表和索引15：

​

​

包含4个元素的列表将生成4！排列(=24)。我们选择一个从0到4的任意索引！-1，比方说15。

我们可以可视化树中的所有排列，第一个节点来自1..4。我们平分4！乘以4，可以看到，每个第一个节点都指向6个子树。如果我们将索引15除以6，结果是2，索引为2的从零开始的列表中的值是3。因此，第一个节点是3，列表的其余部分是(1，2，4)。下面是一个表格，显示了15如何指向Array/List/ with中索引为2的元素：

0 1 2 3 4 5 | 6 ... 11 | 12 13 14 15 16 17 | 18 ... 23
     0      |     1    |         2         |     3
            |          | 0  1  2  3  4  5  |

现在我们减去12，最后3个元素的单元格(12...17)的第一个元素，这3个元素有6个可能的排列，看看15是如何映射到3的。数字3现在得到数组索引1，也就是元素2，所以到目前为止结果是List (3，2，...)。

                        | 0 1 | 2 3 | 4 5 |
                        |  0  |  1  |  3  |
                              | 0 1 |

同样，我们减去2，并以具有2个排列和index (0，3)的剩余2个元素结束，映射到值(1，4)。我们看到，第二个元素，属于顶部的15，映射到值3，最后一步的剩余元素是另一个：

                             | 0 | 1 |
                             | 0 | 3 |
                             | 3 | 0 |

我们的结果是列表( 3，2，4，1)或索引(2，1，3，0)。按顺序测试所有索引表明，它们按顺序产生所有排列。

Answer 3

链接到提到的文章：http://penguin.ewu.edu/~trolfe/#Shuffle

/* Converting permutation index into a permutation
 * From code accompanying "Algorithm Alley: Randomized Shuffling",
 * Dr. Dobb’s Journal, Vol. 25, No. 1  (January 2000)
 * http://penguin.ewu.edu/~trolfe/#Shuffle
 *
 * Author:  Tim Rolfe
 *          RolfeT@earthlink.net
 *          http://penguin.ewu.edu/~trolfe/
 */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// http://stackoverflow.com/questions/8940470/algorithm-for-finding-numerical-permutation-given-lexicographic-index

// Invert the permutation index --- generate what would be
// the subscripts in the N-dimensional array with dimensions
// [N][N-1][N-2]...[2][1]
void IndexInvert(int J[], int N, int Idx)
{  int M, K;

   for (M=1, K=N-1; K > 1; K--)   // Generate (N-1)!
      M *= K;
   for ( K = 0; M > 1; K++ )
   {  J[K] = Idx / M;   // Offset in dimension K
      Idx = Idx % M;    // Remove K contribution
      M /= --N;         // next lower factorial
   }
   J[K] = Idx;          // Right-most index
}

// Generate a permutation based on its index / subscript set.
// To generate the lexicographic order, this involves _shifting_
// characters around rather than swapping.  Right-hand side must
// remain in lexicographic order
void Permute (char Line[], char first, int N, int Jdx[])
{  int Limit;

   Line[0] = first;
   for (Limit = 1; Limit < N; Limit++)
      Line[Limit] = (char)(1+Line[Limit-1]);

   for (Limit = 0; Limit < N; Limit++)
   {  char Hold;
      int Idx = Limit + Jdx[Limit];
      Hold = Line[Idx];
      while (Idx > Limit)
      {  Line[Idx] = Line[Idx-1];
         Idx--;
      }
      Line[Idx] = Hold;
   }
}

// Note:  hard-coded to generate permutation in the set [abc...
int main(int argc, char** argv)
{  int   N = argc > 1 ? atoi(argv[1]) : 4;
   char *Perm  = (char*) calloc(N+1, sizeof *Perm);
   int  *Jdx   = (int*)  calloc(N, sizeof *Jdx);
   int   Index = argc > 2 ? atoi(argv[2]) : 23;
   int   K, Validate;

   for (K = Validate = 1; K <= N; K++)
      Validate *= K;
   if (Index < 0 || Index >= Validate)
   {  printf("Invalid index %d:  %d! is %d\n", Index, N, Validate);
      return -1;   // Error return
   }
   IndexInvert(Jdx, N, Index);
   Permute (Perm, 'a', N, Jdx);
   printf("For N = %d, permutation %d in [0..%d] is %s\n",
          N, Index, Validate-1, Perm);
   return 0;       // Success return
}