Haskell函子隐含定律

Question

Typeclassopedia说：

“类似的论点也表明，任何满足第一定律(fmap id = id)的函数器实例也将自动满足第二定律。实际上，这意味着只需要检查第一定律(通常通过非常简单的归纳)，以确保函数器实例是有效的。”

如果是这样的话，为什么我们还要提到第二函子定律呢？

Law 1: fmap id = id
Law 2: fmap (g . h) = (fmap g) . (fmap h)

Answer 1

虽然我不能给出证明，但我相信这是在说，由于，只要第一定律成立，类型系统就会强制执行第二定律。指定这两个规则的原因是，在更一般的数学设置中，您可能有一些类别C，其中完全可以定义从C到其自身的“映射”(即，分别在Obj(C)和Hom(C)上的一对内部函数)，该映射遵守第一条规则，但不符合第二条规则，因此无法构成函数器。

请记住，Haskell中的Functor是Hask类别上的内部函数器，甚至不是所有在Hask上数学上被认为是内部函数器的东西都可以用Haskell来表示。参数多态性的约束排除了能够为它映射的所有对象(类型)指定一个不统一行为的函数器的可能性。

基于this thread，普遍的共识似乎是，对于Haskell Functor实例，第二个定律遵循第一个定律。Edward Kmett says

对于给定的fmap id = id，fmap (f . g) = fmap f . fmap g由

的自由定理推导而来。

这篇文章发表在很久以前的一篇论文中，但我忘了在哪里。

Answer 2

使用seq，我们可以编写一个满足第一个规则但不满足第二个规则的实例。

data Foo a = Foo a
    deriving Show

instance Functor Foo where
    fmap f (Foo x) = f `seq` Foo (f x)

我们可以验证这是否满足第一定律：

fmap id (Foo x)
= id `seq` Foo (id x)
= Foo (id x)
= Foo x

然而，它违反了第二定律：

> fmap (const 42 . undefined) $ Foo 3
Foo 42
> fmap (const 42) . fmap undefined $ Foo 3
*** Exception: Prelude.undefined

也就是说，我们通常会忽略这些病态的案例。

Answer 3

我要说的是，第二定律不是出于有效性的原因，而是作为一个重要的性质而提到的：

第一定律说，在容器中的每一项上映射标识函数没有任何效果。第二种方法是将两个函数的组合映射到容器中的每个项上，这与先映射一个函数，然后再映射另一个函数相同。-类型性百科全书

(我不明白为什么第一定律意味着第二定律，但我不是一个熟练的Haskeller -当你知道发生了什么时，它可能是显而易见的)