在scipy.spatial.Delaunay中附近遗漏的点

Question

当比较scipy (0.9.0)和matplotlib (1.0.1)的Delaunay三角剖分例程时，我注意到一种无法解释的行为。我的点是存储在numpy.array([[easting, northing], [easting, northing], [easting, northing]])中的UTM坐标。Scipy的边缺少我的一些观点，而matplotlib的边都在那里。有没有修复方法，还是我做错了什么？

import scipy
import numpy
from scipy.spatial import Delaunay
import matplotlib.delaunay


def delaunay_edges(points):
    d = scipy.spatial.Delaunay(points)
    s = d.vertices
    return numpy.vstack((s[:,:2], s[:,1:], s[:,::-2]))


def delaunay_edges_matplotlib(points):
        cens, edges, tri, neig = matplotlib.delaunay.delaunay(points[:,0], points[:,1])
        return edges


points = numpy.array([[500000.25, 6220000.25],[500000.5, 6220000.5],[500001.0, 6220001.0],[500002.0, 6220003.0],[500003.0, 6220005.0]])

edges1 = delaunay_edges(points)
edges2 = delaunay_edges_matplotlib(points)

numpy.unique(edges1).shape # Some points missing, presumably nearby ones
numpy.unique(edges2).shape # Includes all points

Answer 1

scipy.spatial.Delaunay的这种行为可能与浮点算术的深刻印象有关。

如你所知，scipy.spatial.Delaunay使用C qhull库来计算Delaunay三角剖分。反过来，Qhull是Quickhull algorithm的实现，作者在this论文(1)中详细描述了这一点。您也可能知道，计算机中使用的浮点算法是使用IEEE754标准实现的(例如，您可以在Wikipedia中阅读到有关该标准的内容)。根据该标准，每个有限数最简单地由三个整数来描述：s=符号(0或1)，c=有效数(或‘系数’)，q=指数。用于表示这些整数的位数因数据类型而异。因此，很明显，浮点数在数值轴上的分布密度不是恒定的--数字越大，分布越松散。即使用谷歌计算器也能看到--你可以从3333333333333333和get 0中减去3333333333333334。这是因为3333333333333333和3333333333333334都四舍五入为相同的浮点数。

现在，了解了舍入误差，我们可能想要阅读论文(1)的第4章，标题为Copying with impresicion。在本章中，描述了一种处理舍入误差的算法：

Quickhull partitions a point and determines its horizon facets by computing 
whether the point is above or below a hyperplane. We have assumed that 
computations return consistent results ... With floating-point arithmetic, we 
cannot prevent errors from occurring, but we can repair the damage after 
processing a point. We use brute force: if adjacent facets are nonconvex, one of 
the facets is merged into a neighbor. Quickhull merges the facet that minimizes 
the maximum distance of a vertex to the neighbor.

这就是可能发生的事情- Quickhull不能区分两个邻近的点，所以它合并了两个方面，从而成功地消除了其中一个。要消除这些错误，例如，可以尝试移动坐标原点：

co = points[0]
points = points - co

edges1 = delaunay_edges(points)
edges2 = delaunay_edges_matplotlib(points)

print numpy.unique(edges1) 
>>> [0 1 2 3 4]
print numpy.unique(edges2)
>>> [0 1 2 3 4]

这会将计算移动到浮点数相当密集的区域。